Como a equação de Bloch é derivada?
Estou lendo um livro sobre teoria de muitos elétrons, que fornece uma equação de Bloch em sua forma generalizada:
$$\tag{1} [\Omega,H_0]P=Q(V\Omega-\Omega V_{eff})P, $$
Onde$P$denota a projeção do estado exato para um estado modelo:
$$\tag{2} P\mid \psi^{(\alpha)}\rangle=\mid \psi_0^{(\alpha)}\rangle, $$
e$\Omega$denota um mapeamento do estado do modelo para o estado exato:
$$\tag{3} \Omega\mid \psi_0^{(\alpha)}\rangle=\mid \psi^{(\alpha)}\rangle, $$
e$Q=1-P$.
O livro que eu uso tem uma derivação ambígua da equação de Bloch com muitas etapas omitidas. Eu apreciaria se alguém pudesse me explicar como ele é derivado.
É eq. 55 na página 21 do livro didático.
Respostas
Eles começam com a equação de Schrödinger independente do tempo:
$$\tag{1} H|\psi^\alpha\rangle = E^\alpha |\psi^\alpha\rangle. $$
Então eles definem$|\psi_0^\alpha\rangle$para ser o que eles chamam de "estado modelo", que é uma aproximação do estado verdadeiro$|\psi^\alpha\rangle$mas mais facilmente acessível, e está relacionado ao verdadeiro estado por um operador de Møller$\Omega$, e para a verdadeira energia$E^\alpha$de$H_{\textrm{eff}}$:
$$\tag{2} |\psi^\alpha\rangle \equiv \Omega |\psi_0^\alpha\rangle ~~~, ~~~ H_{\textrm{eff}}|\psi_0^\alpha\rangle\equiv E^\alpha |\psi_0^\alpha\rangle. $$
Podemos multiplicar a segunda parte da Eq 2 por$\Omega$em ambos os lados da equação, então reescreva-a usando a primeira parte da Eq 2:
\begin{alignat}{2} \tag{3} \Omega H_{\textrm{eff}}|\psi_0^\alpha\rangle &= E^\alpha |\psi^\alpha\rangle. \end{alignat}
Da mesma forma, podemos simplesmente substituir a primeira parte da Eq 2 na Eq 1 e obter:
\begin{alignat}{3} \tag{4} H \Omega |\psi_0^\alpha\rangle &= E^\alpha |\psi^\alpha\rangle. \end{alignat}
Como o lado direito das Eqs 3 e 4 são iguais, podemos igualar os lados esquerdos também:
\begin{alignat}{3} \tag{5} \Omega H_{\textrm{eff}}|\psi_0^\alpha\rangle &= H \Omega |\psi_0^\alpha\rangle. \end{alignat}
Então eles dizem que como a Eq 5 se aplica a todos os estados do modelo ( ou seja , todos os valores de$\alpha$) podemos substituir$|\psi_0^\alpha\rangle$de$P$:
\begin{alignat}{3} \tag{6} \Omega H_{\textrm{eff}}P &= H \Omega P. \end{alignat}
Ao particionar$H=H_0 + V$Nós temos:
\begin{alignat}{3} \tag{6} \Omega H_{\textrm{eff}}P &= H_0 \Omega P + V \Omega P. \end{alignat}
O que acontece a seguir não é explicado no texto, mas eles obtêm:
\begin{alignat}{3} \tag{7} H_{\textrm{eff}} &= PH_0 P + PV \Omega P. \end{alignat}
Para obter o último termo, eu multiplicaria à esquerda todos os termos por$P$, mas algo mais deve ter acontecido para que os outros dois termos fossem como são. De qualquer forma, eles fazem o segundo termo na Eq. 7 a ser definido como$W$e remova o$H_{\textrm{eff}}$para obter a equação no início de sua pergunta. Eles citam [113.117.124], mas com seu link do Google Livros, não consigo ver as páginas 61 a 405 e parece que a bibliografia está no final (nas páginas que faltam). Por acaso você sabe o que são [113.117.124]?
De qualquer forma, eles finalmente dizem que no caso em que todos os estados do modelo têm a mesma energia$E_0$, obtemos a equação de Bloch original que eles dizem ter sido derivada no final da década de 1950 pelo físico nuclear francês Claude Bloch , ( não a muito mais famosa equação de Bloch apresentada pela primeira vez em 1948 pelo físico suíço-americano Felix Bloch e seu aluno de doutorado Roald Wangsness ):
$$\tag{8} \left(E_0 - H_0 \right)\Omega P = V \Omega P - \Omega W. $$
Edit: Depois de muito pesquisar, descobri que o autor desse livro explicou essa mesma derivação com muito mais detalhes neste artigo de 1974 . Preste atenção no que ele fala sobre$P$e$\Omega$não sendo "verdadeiros" inversos um do outro, e o que acontece quando você os combina. Também é surpreendente que a notação seja quase a mesma no artigo original de 1958 de Claude Bloch . O papel está em francês, mas não é muito difícil seguir as equações (ele mostra muitos passos!).