Como converter equação paramétrica em equação implícita?

Question

Q:

Dado
$x = \sin(t)$
$y = \cos(t)$
Qual é a forma implícita desta equação?

Minha tentativa de resolver:

$x = \sin (t)$
$t = \sin^{-1} (x)$
Substituindo em y:
$y = \cos(\sin^{-1}x)$

E eu estou preso aqui ...

Em uma tentativa de entender essa questão, eu quebrei a questão e usei desmos para traçar essa questão, link gráfico desmos .

Eu posso ver isso como $t$aumenta ou diminui, gira como um círculo. Mas minha equação final$y = \cos(\sin^{-1}x)$ apenas traça um semicírculo, então minha resposta está definitivamente errada.

Alguém poderia explicar onde foram meus erros e me mostrar como você resolveria essa questão? Obrigado!

Answer 1

Dica: eleve ao quadrado ambas as equações para obter $x^2 = \sin^2(t)$ e $y^2 = \cos^2(t)$, então adicione para obter $x^2+y^2 = \sin^2(t)+\cos^2(t)$. Pelo Teorema de Pitágoras,$\sin^2(t) + \cos^2(t) = ?$

Answer 2

Em geral, para 2 equações paramétricas do formulário $$x=a\sin\theta+b, y=a\cos\theta+c$$ temos $$\sin\theta=\frac{x-b}{a},\cos\theta=\frac{y-c}{a}$$ Usando a identidade $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$, temos $$\big(\frac{x-b}{a})^2+\big(\frac{y-c}{a})^2=1$$ e $$(x-b)^2+(y-c)^2=a^2$$ que é um círculo com centro $(b,c)$ e raio $a$. Obviamente, poderíamos aplicar o mesmo método se fosse$y=a\sin\theta+b$etc. Portanto, o que se deve observar é se o coeficiente de $\sin\theta$ e $\cos\theta$é o mesmo. Se for, a curva é um círculo.

Answer 3

Com equações trigonométricas paramétricas, você precisa pensar em identidades trigonométricas. Usando a identidade trigonométrica$\sin^{2}(\theta) + \cos^{2}(\theta) = 1$, você pode elevar ao quadrado ambas as equações de $x$ e $y$. Que você pode substituir na identidade que acabei de declarar.

$$\sin^{2}(t) + \cos^{2}(t) = x^2 + y^2 = 1$$

Agora você pode ver, a forma implícita é $x^2 + y^2 = 1$.

Answer 4

Sua relação $t=\sin^{-1}(x)$ só é válido para $t\in[-\pi/2,\pi/2],$ dada a definição de $\sin^{-1}$. Em seguida, você tem, dado que$\cos(t)\geq0$ nesse intervalo, $$ y=\cos(t)=\cos(\sin^{-1}(x))=\sqrt{1-\sin^2(\sin^{-1}(x))}=\sqrt{1-x^2}, $$ isso faz parte do semicírculo $$ x^2+y^2=1,\ y\geq0\qquad\implies\qquad y=+\sqrt{1-x^2}. $$ Se você definir $t=\pi-\sin^{-1}(x),$ essa é outra solução de $x=\sin(t),$ valido para $t\in[\pi/2,3\pi/2],$ Onde $\cos(t)\leq0,$ $$ y=\cos(t)=\cos(\pi-\sin^{-1}(x))=-\cos(\sin^{-1}(x))=-\sqrt{1-\sin^2(\sin^{-1}(x))}=-\sqrt{1-x^2}, $$ isso faz parte do outro semicírculo $$ x^2+y^2=1,\ y\leq0\qquad\implies\qquad y=-\sqrt{1-x^2}. $$