Como é chamada essa propriedade das medidas do Borel?

Question

Considere uma medida de Borel (em um espaço métrico) que é diferente de zero em todos os subconjuntos incontáveis ​​do Borel do espaço e zero em todos os subconjuntos contáveis ​​do Borel do espaço.

Existe um nome específico para esta propriedade da medida? Gostaria de dar-lhe um nome em um texto que estou escrevendo, mas isso seria desnecessário se já tiver um.

Answer 1

Podemos mostrar que a única medida que satisfaz esta propriedade em um espaço polonês (ou seja, um espaço topológico separável que admite uma métrica completa) é a trivial (ou seja, $0$ em conjuntos contáveis ​​e $\infty$ em incontáveis).

Defina um isomoprismo de Borel como uma bijeção mensurável com um inverso mensurável.

O Teorema 8.3.6 da Teoria da Medida de Donald L. Cohn afirma que quaisquer dois subconjuntos incontáveis ​​de um espaço polonês são Borel isomórficos.

Também é um resultado padrão que quaisquer dois espaços poloneses sejam isomórficos de Borel. Uma vez que os espaços mensuráveis ​​isomórficos do Borel admitem a mesma coleção de medidas, podemos WLOG considerar colocar uma medida do Borel$\mathbb{R}^2$com a topologia padrão. Então, suponha que temos uma medida Borel satisfazendo sua propriedade em$\mathbb{R}^2$. Então desde$\mathbb{R}^2$ é incontável, cada conjunto incontável de Borel $\mathbb{R}^2$ Borel é isomórfico a $\mathbb{R}^2$. Então observe que$\mathbb{R}^2$ pode ser escrito como a incontável união disjunta de incontáveis ​​conjuntos de Borel (considere a tradução do $x$-eixo), portanto, qualquer subconjunto incontável de Borel de $\mathbb{R}^2$pode ser escrita como a incontável união disjunta de incontáveis ​​conjuntos de Borel. Assim, todo conjunto incontável de Borel tem medida infinita. Portanto, a medida é trivial.