Como é ${}_{kG}\mathcal{M}$ uma categoria de tensor?

Question

Deixei $G$ ser um monóide e $k$ser um anel comutativo unital. Nós consideramos a álgebra$$kG = \left\{\sum_{g \in G}' \alpha_g g: \alpha_g \in k\right\}$$com suas operações usuais. Algumas notas que estou lendo dizem que a categoria${}_{kG}\mathcal{M}$ do $kG$-módulos é uma categoria de tensor para $\otimes$ sem dar mais informações.

Pergunta : Qual é o produto tensorial$\otimes$Aqui? Dada esquerda$kG$-módulos $M,N$, Acredito $M \otimes N$ denota o produto tensorial sobre o anel comutativo $k$ Onde $M$ e $N$ arranje um $k$-módulo da incorporação canônica $k \to kG$. Mas como definimos uma ação sensata em$M \otimes N?$

Nós podemos tentar $$g. (m\otimes n) = (gm) \otimes n$$ mas isso não é simétrico, então provavelmente não é o que estou procurando!

Answer 1

Quando você tem um livre $k$-módulo $A$, tem a estrutura de uma coalgebra cocomutativa, ou seja, $k$- mapas lineares $\delta : A \to A \otimes_k A$ e $\epsilon : A \to k$ de modo que as seguintes equações sejam satisfeitas:

$$\begin{aligned} (\epsilon \otimes_k \textrm{id}_A) \circ \delta & = \textrm{id}_A \\ (\textrm{id}_A \otimes_k \epsilon) \circ \delta & = \textrm{id}_A \\ (\delta \otimes_k \textrm{id}_A) \circ \delta & = (\textrm{id}_A \otimes_k \delta) \circ \delta \\ \sigma \circ \delta & = \delta \end{aligned}$$

(Aqui, $\sigma : A \otimes_k A \to A \otimes_k A$ é a transposição $a \otimes b \mapsto b \otimes a$.)

Explicitamente, suponha $A$ tem um $k$-base $X$. Nós definimos$\delta$ e $\epsilon$ em $X$ como segue e estender $k$-linearmente:

$$\begin{aligned} \delta (x) & = x \otimes x \\ \epsilon (x) & = 1 \end{aligned}$$

É fácil verificar se isso faz $A$em uma coalgebra cocomutativa. Assim, quando$A$ também tem a estrutura de um $k$-álgebra que faz $\delta : A \to A \otimes_k A$ e $\epsilon : A \to k$ $k$- homomorfismos de álgebra - por exemplo, se a multiplicação e unidade são definidas por $k$- estender linearmente uma estrutura monóide com base $X$ - podemos restringir escalares para transformar qualquer $(A \otimes_k A)$-módulo em um $A$-módulo. Em particular, dados dois$A$-módulos $M$ e $N$, temos um óbvio $(A \otimes_k A)$- ação em $M \otimes_k N$, ou seja, $$(a \otimes b)(m \otimes n) = (a m) \otimes (b n)$$ e isso produz um $A$- ação em $M \otimes_k N$. Coassociatividade da comultiplicação$\delta$ faz $\otimes_k$ um produto monoidal associativo na categoria de $A$-módulos, e a cocomutatividade o torna simétrico.