Como entender intuitivamente o $n$cubo dimensional conforme a dimensão aumenta [duplicar]

Dec 20 2020

Então li * isso para o corpo convexo, ou seja, o cubo$[-1,1]^n$ dentro $\mathbb{R}^n$, a menor bola que o contém tem raio$\sqrt{n}$, enquanto a maior bola dentro do cubo tem raio$1$.

Além disso,

"... conforme a dimensão cresce, o cubo se parece cada vez menos com uma bola."

Como faço para visualizar essas coisas quando $n\geq 4$? Eu simplesmente não consigo ver!

Seria ótimo se eu pudesse obter alguma ajuda com a intuição envolvida aqui. Obrigado!

* Ver página 2 de

Keith Ball, "Uma introdução elementar à geometria convexa moderna" em Flavors of Geometry , Silvio Levy ed., Cambridge 1997.

Edit: Embora as respostas sugeridas sejam muito boas, eu não acho que elas abordem a estrutura geométrica particular com a qual estou preocupado em minha pergunta.

Respostas

2 PrudiiArca Dec 20 2020 at 16:15

O que o faz pensar que podemos visualizar cubos e esferas superiores? Para$n=4$ você pode jogar jogos como usar algum tipo de controle deslizante de tempo para desenhar a interseção de seu objeto com o $xyz$-hyperplane, mas para $n>4$ esses tipos de hacks ficarão indisponíveis muito rapidamente.

A intuição por trás de fatos como os que você cita não é intuição, mas computação . Em certo sentido, a matemática se constrói em torno de nossa intuição para o espaço 2, 3 ou talvez até 4-dimensional, com o que quero dizer que a maioria das definições imita algo nesses mundos de baixa dimensão. No entanto, as definições são muito mais gerais no sentido de que a dimensão não é essencial, portanto, podemos também tentar descobrir o que elas fazem nas dimensões superiores (pensando em variedades). É uma pena com certeza não podermos ver o que está acontecendo lá, porque com certeza as coisas começam a quebrar. Colectores tornar unsmoothable ou ter várias estruturas lisas distintas, os resultados da classificação são impossíveis de obter e esferas tornar pontudo e computacionalmente começar a olhar e se comportam em vez alienígena. Para dar um exemplo: A conjectura de Poincaré era um dos problemas do milênio (ou seja, estava no mesmo nível de dificuldade que a hipótese de Riemann ou$P$ vs $NP$) e era sobre $3$-esferas. A geometria superior é difícil .

Por outro lado, essa é toda a graça da matemática abstrata. Definições intuitivas derivadas de uma pequena coleção de exemplos logo se revelam ter instâncias mais exóticas, mas interessantes, o que torna a definição ainda mais interessante e digna de estudo.