Como interpretar este limite q-binomial

Question

No curso Cousera sobre combinatória enumerativa, o professor afirma:

$\lim_{m\to\infty} \begin{bmatrix} m+n\\ n \end{bmatrix}_q = \lim_{m\to\infty}\frac{(1-q^{m+1})\cdot(1-q^{m+2})\cdots(1-q^{m+n})}{(1-q)\cdot(1-q^2)\cdots(1-q^n)} = \frac{1}{(1-q)\cdot(1-q^2)\cdots(1-q^n)}$.

Agora, claramente em um sentido de análise convencional, isso é bom para $|q|<1$, mas estamos lidando com séries de potências formais aqui, e o resultado deve ser válido para a variável formal $q$. Na verdade, o lado esquerdo pode ser pensado como a função geradora para diagramas de Young se encaixando em um retângulo com largura$n$ e altura infinita que concorda com o lado direito, que é a função geradora para partições em um máximo de $n$ summands.

Minha pergunta é: como podemos entender esse limite?

Answer 1

$\left(1-q^{m+1}\right)\cdot\left(1-q^{m+2}\right)\cdots\left(1-q^{m+n}\right) = 1 -q^mP(q),\text{ with } P\in\mathbb{Z}[q]$ então o limite é $1$ para o $q$topologia -adic de $\mathbb{Z}[[q]]$

Answer 2

Para séries de potências, a frase $\lim_{n\to\infty} f_n(q)=f(q)$ significa que, para todos $k\in \mathbb N$, existe um $N\in \mathbb N$ de modo a $$ n\ge N\implies [q^k]f_n(q)=[q^k]f(q) $$ Em palavras, para cada $k$, o coeficiente de $q^k$ dentro $f_n(q)$ deve eventualmente corresponder ao coeficiente de $q^k$ dentro $f(q)$. Desde a$$ {n+m \brack n}_q=\frac{1-q^{m+1}+(\text{higher powers of }q)}{(1-q)\cdots(1-q^n)} $$ segue-se que o primeiro $m$ coeficientes de ${n+m \brack n}_q$ vai concordar com o de $\frac1{(1-q)\cdots(1-q^n)}$.