Como mostrar que ODE é separável

Question

Eu tenho um ODE: $$xy'= y+2x^3 \sin\big(\frac{y}{x}\big)^2.$$Tenho que mostrar que isso é separável. Eu introduzi uma função u = y/x. Então, usando DivideSidese Simplifyobtive a seguinte equação:$$(ux)'= u+2x^2 \sin\big(\frac{y}{x}\big)^2.$$

Agora preciso usar a regra do produto para o lado esquerdo da equação e obter uma forma de ODE separável. Como eu posso fazer isso?

Answer 1

Por que não

1. Substituto $u=y/x$ programaticamente:

   x y'[x] == y[x] + 2 x^3*Sin[y[x]/x]^2 /. y -> Function[x, u[x] x] // FullSimplify
   

$$2 x^2 \sin ^2(u(x))=x u'(x)$$

1. Expresse a derivada na notação de Leibniz (você pode selecionar a saída e pressionar Ctrl+ Shift+ Tpara transformar em bonita TraditionalForm):

   % /. {u[x] -> u, u'[x] -> Dt[u]/Dt[x]}
   

$$2 x^2 \sin ^2(u)=\frac{x du}{dx}$$

1. Multiplique os dois lados:

    MultiplySides[%, Dt[x]/x/Sin[u]^2, Assumptions -> Dt[x]/x/Sin[u]^2 != 0]
   

$$2 x dx=\csc ^2(u)du$$