Como pode existir um manifold analítico (complexo)?

Question

Estou confuso como as variedades analíticas (complexas) podem existir. Meu entendimento de uma variedade é que você tem um Atlas$A$, que é sua coleção de gráficos de coordenadas. Cada gráfico de coordenadas é uma tupla de uma vizinhança dentro de sua topologia e uma função que mapeia essa topologia para seu espaço de saída. Existem mapas de transição entre os gráficos de coordenadas onde eles se cruzam, que permitem que você salte perfeitamente entre os gráficos através de suas interseções.

No entanto, parece-me que se você tiver duas funções reais (gráficos com domínios correspondentes [vizinhanças]) que estão "próximas" uma da outra em sua variedade, elas devem "se sobrepor" por algum intervalo $(a,b)$, Onde $a<b$(ou seja, eles não podem se sobrepor em um ponto). A função dessa sobreposição é o seu mapa de transição para os gráficos fornecidos.

No entanto, devido à existência do Teorema da Identidade , se você deseja duas funções$f$ e $g$ para se sobrepor em algum intervalo $(a,b)$, qualquer então $f$ ou $g$deve ser não analítico. Portanto, não entendo como você poderia dizer que todos os seus gráficos e mapas de transição em uma variedade são analíticos e suaves.

É claro que esses tipos de variedades podem existir, então estou procurando o que está errado com meu entendimento.

Answer 1

Onde as cartas se sobrepõem, os mapas das cartas não são necessariamente idênticos. E se$f: U\to\mathbb C$ e $g:V\to \mathbb C$ são dois gráficos com $U\cap V\neq\emptyset$, então $g\circ f^{-1}$ deve ser holomórfico em $f(U\cap V)$. Essencialmente, gráficos diferentes fornecem sistemas de coordenadas diferentes. Realmente diferente no sentido de que dois gráficos podem fornecer coordenadas diferentes em sua sobreposição. O que é importante é que a mudança de coordenadas é um mapa uniforme (ou, no caso complexo, holomórfico). E o mapa que leva as coordenadas de um ponto de acordo com o gráfico$(U,f)$ e cospe as coordenadas do mesmo ponto de acordo com o gráfico $(V,g)$ é $g\circ f^{-1}$ ($f^{-1}$ pega as coordenadas no primeiro gráfico e nos dá o ponto, e então $g$pega o ponto e nos dá as coordenadas no segundo gráfico). Portanto, esse mapa precisa ser holomórfico. Mas não há mais restrições nas paradas. Eles não precisam concordar onde eles se sobrepõem. Acontece apenas que as traduções entre os gráficos precisam ser razoavelmente boas no sentido de que são holomórficas. Nada mais nada menos.