Como podemos explicar o fato de que $\mathbb E\left( {\mathbb E\left( {X|Y} \right)} \right) = \mathbb E(X)$? [duplicado]

Question

Sabemos que a seguinte expectativa condicional de propriedade se mantém, assumindo $\mathbb E[|X|]<\infty$:

$\mathbb E\left( {\mathbb E\left( {X|Y} \right)} \right) = \mathbb E(X)$

Alguém poderia me dar alguma intuição sobre isso? por que, quando tomamos o valor esperado novamente, conhecer a variável aleatória Y não afetará o valor esperado de X.

Answer 1

A intuição - ou seja, vamos esquecer o rigor e os espaços de probabilidade por um segundo, e apenas desenvolver uma imagem mental de desenho animado do conceito - é na verdade bastante direta:

Dentro do LHS da equação $\mathbb E\left( {\mathbb E\left( {X|Y} \right)} \right) = \mathbb E(X)$ nós achamos $\color{blue}{\mathbb E\left( {X|Y} \right)},$ que condiciona a expectativa da variável aleatória $X$ no valor da variável aleatória $Y.$ Assim sendo, $ {\mathbb E\left( {X|Y} \right)}$ é na verdade uma variável aleatória e uma função de $Y.$ Não é um número, mas uma função mensurável ${\mathbb E\left( {X|Y} \right)}:Y \to \mathbb R.$ Conforme você desliza pelo domínio de $Y,$ a expectativa de $X$ mudanças, desde que sejam dependentes.

Mas esta expressão $\color{blue}{\mathbb E\left( {X|Y} \right)}$ é ainda incluído no operador $ {\mathbb E\left( \cdot \right)},$ o que significa que estamos realmente procurando a expectativa (valor médio ponderado) em todos os valores de $Y.$ Ao fazer isso, estamos essencialmente integrando e tornando os valores individuais de $Y$ irrelevante.

Pictoricamente,

Novamente, apenas uma intuição!

Answer 2

Não sei se esses diagramas serão úteis para você. Acho útil pensar no condicionamento como colocar uma transparência sobre o espaço da amostra.

Deixei $X_1, X_2$ser dois coinflips justos e independentes. Denote o resultado das cabeças por$0$ e o resultado de caudas por $1$. Deixei$S = X_1 + X_2$. O espaço da amostra$\Omega$ tem quatro pontos: $\{(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)\} = \{\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4\}$,:

Considere primeiro a expectativa condicional interna, $Z = E[S | X_2]$. Observe que$Z$ é uma variável aleatória: para cada $\omega \in \Omega$, $Z(\omega)$é um número real. É simplesmente isso$Z(\omega)$ é constante nos sets $X_2^{-1}(\{0\}) = \{(0,0), (1,0)\} = \{\omega_1, \omega_3\}$ e $X_2^{-1}(\{1\}) = \{(0,1),(1,1)\} = \{\omega_2, \omega_4\}.$ Em formato de diagrama,

Qual é o valor constante de $Z$ quando $X_2 = 0$? É a probabilidade condicional de$S$ dado $X_2 = 0$, que é uma média sobre o $\omega$está no set $\{\omega : X_2(\omega) = 0\}$: $$E[S | X_2](\omega_1) = E[S|X_2](\omega_3) = 0.5.$$ Similarmente, $$E[S | X_2](\omega_2) = E[S|X_2](\omega_4) = 1.5.$$

Agora o que acontece quando você faz $E[E[S|X_2]]$? Você média novamente . A regra$E[E[S|X_2]] = E[S]$ pode ser (aproximadamente) lido como "a média das médias parciais é a média total".