Como posso resolver essa equação funcional?

Question

Deixei $\mathbb{N}=\{0,1,2,...\}$. Quais são todas as funções$f:\mathbb{N}\longrightarrow \mathbb{N}$ de tal modo que : $f(x+1)+1=f(f(x)+1)$ para todos $x\in \mathbb{N}$.

• Notei que, enquanto procurava a injeção, que $\forall (x,y,n) \in \mathbb{N^3}: f(x)=f(y) \Rightarrow f(x+n)=f(y+n)$

• Então eu descobri que $f(0) \neq 0$, porque se for o caso, teremos, deixando $x=1$ : $f(1)+1=f(f(0)+1) \Rightarrow 1=0$

Existe algum método para resolver isso?

Answer 1

Editar : conforme observado nos comentários, a propriedade só é válida para números naturais, não para todos os números reais. Supondo que isso seja válido para números reais, o seguinte pode ajudar.

Vejamos a função com esta mesma propriedade, mas em $\mathbb{R}$. Então:

$$\Big[ f(x+1)+1 \Big]' = f'(x) = f'(x) \cdot f'(f(x)+1)$$ pela regra da cadeia.

Portanto:

$$f'(f(x)+1) = 1 \ \ \ \lor \ \ \ f'(x)=0$$ No entanto, o último implicaria que $f(x)$ é constante para todos $x$, mas este não é o caso, pois para $f(x)=c$ temos $f(x+1)+1=c+1\neq f(f(x)+1) = c$.

Integrando ambos os lados da primeira equação e usando o teorema fundamental do cálculo, obtemos:

$$f(f(x)+1)-f(f(0)+1)=x$$

do qual segue

$$f(x+1)+1-(f(0+1)+1) = x$$

O que acaba levando a

$$f(x)=x+f(1)-1$$

Agora só temos que encontrar $f(1)$, que deveria ser $\geq1$para que isso segure. Eu descobri que a propriedade vale pelo menos por$f(1)=2$ (então para $f(x)=x+1)$, mas não tenho certeza se há mais possibilidades.

Claro, podemos voltar ao caso em que $f$ é uma função dos números naturais na última etapa, uma vez que qualquer propriedade válida para todos os números reais também deve ser válida para os números naturais entre eles.

Answer 2

Aqui estão alguns resultados que encontrei.

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Primeiro deixe $u_n=f(n)$ e $w_n = u_n +1$ temos $$ u_{n+1}+1=f(u_n+1) $$ assim $$ w_{n+1}=f(w_n)=\cdots=f^{n+1}(w_0) $$ então $$ f(n)+1=f^n(f(0)+1). $$ E se $c=f(0)+1 \ge 2$, temos $$ f(n)=f^n(c)-1. $$ Vamos ver se podemos encontrar algumas soluções: se $f(n)=n^k$ ($k \ge 2$) temos $f^m(n)=n^{k^m}$ assim $n^k=c^{k^n}=\exp(k^n\ln(c))$ mas isso não pode ser para grandes valores de $n$ (o RHS explode muito rapidamente em comparação com o LHS).

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E se $f$ é limitado por $M \in \Bbb N$ temos $$ f(n) \le M $$ assim $$ f(n) \le M-1 $$ assim $f=0$, assim $f$ não é limitado.

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E se $\exists x, f(x)=x$ temos $f(x+1)+1=f(x+1)$ assim $1=0$, o que é um absurdo.

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