Como posso usar a função `SolveAlways` para resolver este problema

Question

Dado que $y=\frac{1}{2} e^{2 x}+\left(x-\frac{1}{3}\right) e^{x}$ é uma solução especial da equação diferencial $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=c e^{x}$( a, b, cSão constantes), eu quero encontrar o valor de a, b, c.

y[x_] := 1/2 E^(2 x) + (x - 1/3) E^x
SolveAlways[(D[#, {x, 2}] + a*D[#, x] + b*# == c*E^x) &@y[x], x]

Mas o código acima não pode resolver este problema (a resposta é a=-3, b=2, c=-1). Como posso usar a função SolveAlwayspara resolver este problema?

Answer 1

Da documentação para SolveAlways:

SolveAlways trabalha principalmente com equações lineares e polinomiais.

Então, vamos tornar isso linear! Existem três funções linearmente independentes aqui, a função constante,$x$e $e^x$, então vamos definir a função exponencial para y:

y[x_] = 1/2 E^(2 x) + (x - 1/3) E^x;
(D[#, {x, 2}] + a*D[#, x] + b*# == c*E^x) &@y[x] // Simplify;
SolveAlways[% /. Exp[x] -> y, {x, y}];
(* {{a -> -3, b -> 2, c -> -1}} *)