Como provar que essa matriz é diagonalizável?

Question

Estou tentando questões de atribuição de álgebra linear e não consegui resolver esta questão específica sobre diagonalizabilidade.

Deixei $n \times n$ matriz complexa $A$ satisfaz $A^k = I$ a $n \times n $ matriz de identidade, onde $k$ é um número inteiro positivo $>1$ e deixar $1$ não ser um valor próprio de $A$. Então, como provar que A é necessariamente diagonalizável?

Como $A^k=I$ e 1 não é um valor próprio, então $(A-I ) (A^{k-1}+...+ I)=0$ implica que $(A^{k-1}+...+ I)=0$ mas não consigo me mover para a frente.

Você pode por favor ajudar?

Answer 1

Você poderia ter assumido menos. A condição "1 não é um autovalor de$A$"é desnecessário.

Lembre-se de que uma matriz complexa $A$é diagonizável se e somente se seu polinômio mínimo não tiver raízes múltiplas. E se$A^k = I$, então o polinômio mínimo de $A$, which we denote by $f(x)$, necessarily divides $x^k - 1$. We conclude that $f(x)$ cannot have multiple roots since $x^k - 1$ has $k$ distinct roots in $\mathbb{C}$. Hence $A$ is diagonizable.

Alternatively, we may use Jordan Canonical Form to see the diagonizability. Suppose on the contrary $A$ is not diagonalizable, then there must exist some nontrivial Jordan block $B$ of the Jordan Canonical Form in the following form: $$\begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots& \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}$$ which satisfies $B^k = I$. This is impossible by calculating, for example, the $(1,2)$-entry of $B^k$, since $\lambda \neq 0$.

Answer 2

Let $A=SJS^{-1}$ be the Jordan normal form then $A^{k}=(SJS^{-1})^k=(SJ^{k}S^{-1})=I$. Then multiplying by $S^{-1}$ on the left and $S$ on the right yields $J^k=I$. If $J$ had a Jordan block $J_i$ of size $n>1$ corresponding to the eigenvalue $\lambda_{i}$, then $J_i^k$ would have super diagonal entries $(2\lambda_{i})^{(k-1)}\neq 0$.

Answer 3

There is a Theorem which says that If any square Matrix A is Diagonizable then any positive power of A ie A^k , k belong to Z+. A^k is also Diagonizable

BUT THE CONVERSE part is true Only if A is Invertible ie. If We are given that A^k is Diagonizable and A is Invertible Then A is Diagonizable . You can see the proof here If $A$ is invertible and $A^n$ is diagonalizable, then $A$ is diagonalizable.

Here We are given that A^k = I So A is Invertible and Identify is Always diagonizable So A is Diagonizable.

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