como provar que o segmento$IF=HF+GF$

Question

$AE$e$CD$são as bissetrizes dos ângulos$\triangle ABC$.$F$é um ponto arbitrário na linha$DE$. Prove que$GF+HF=IF$.

Percebi$3$quadriláteros cíclicos. Alguma ideia. aqui está a foto

Answer 1

Considere as Coordenadas Trilineares (https://en.wikipedia.org/wiki/Trilinear_coordinates) primeiro no caso em que$F$está dentro do triângulo$ABC$.

$D$e$E$, sendo pés de bissetrizes de ângulo, têm resp. coordenada trilinear.$(1,1,0)$e$(0,1,1)$. Portanto, a equação trilinear da reta$DE$é:

$$\begin{vmatrix}1&0&x\\1&1&y\\0&1&z\end{vmatrix}=0 \ \ \iff \ \ x-y+z=0\tag{0}$$

interpretando$(x=FG,y=FH,z=FI)$, Nós temos:

$$FG+FI-FH=0\tag{1}$$

( que não é a relação dada! )

Agora se$F$não está dentro do triângulo$ABC$, aqui estão os outros casos:

• No caso representado na figura dada ($F$"apenas fora"$[DE]$do lado de$E$), apenas uma das coordenadas trilineares,$FG$, sofre uma mudança de sinal ; portanto (1) torna-se:

$$\color{red}{-}FG+FI-FH=0\tag{2}$$

que equivale à relação dada , desta vez!

Se, no caso da figura dada,$F$está longe, ocorre uma segunda mudança de sinal, agora para distância sinalizada$FH$, transformando (2) em:

$$-FG+FI\color{red}{+}FH=0\tag{3}$$

que é uma terceira fórmula.

• se, ao contrário,$F$está fora do segmento de linha$[D,E]$mas do lado de$D$, temos que mudar$FI$em seu oposto em (1), devolvendo a relação (3).

Observação sobre a relação (0): nós a obtivemos trabalhando até uma constante multiplicativa; isso não é importante porque lidamos com relações que têm um zero em seu lado direito.