Como resolver 1990 IMO Q3
Para minha aula sob encomenda, um dos exercícios que meu professor me deu foi a Pergunta 3 do artigo da IMO de 1990:
Encontre todos os inteiros $n>1$ de tal modo que $\frac{2^n+1}{n^2}$ é um número inteiro.
Minha tentativa:
Nós temos $$n^2|2^n+1\Rightarrow2^n+1\equiv0\pmod{n^2}\Rightarrow2^n\equiv-1\pmod{n^2}\Rightarrow2^{2n}\equiv1\pmod{n^2}$$ Ou $\text{ord}_{n^2}(2)=1$, $\text{ord}_{n^2}(2)=2$, $\text{ord}_{n^2}(2)=d$ Onde $d|n$, ou $\text{ord}_{n^2}(2)=2d$ Onde $d|n$ mas $2d\nmid n$.
E se $\text{ord}_{n^2}(2)=1$, $2^1\equiv1\pmod{n^2}$, então $n^2=1\Rightarrow n=1$. Isso contradiz os requisitos para$n$.
E se $\text{ord}_{n^2}(2)=2$, $2^2\equiv1\pmod{n^2}$, então $n^2=1$ ou $3$ então $n$ é $1$ ou $\sqrt3$. Isso também contradiz os requisitos para$n$.
E se $\text{ord}_{n^2}(2)=d$ então existe um inteiro $k$ de tal modo que $dm=n$. Então$2^n=2^{dm}=\left(2^d\right)^m\equiv1^m=1\pmod{n^2}$. Isso contradiz$2^n\equiv-1$ que mostramos anteriormente.
Portanto $$\text{ord}_{n^2}(2)=2d$$
Pelo teorema de Euler $2^{\phi(n^2)}\equiv1\pmod{n^2}$, então $2d|\phi(n^2)$. Como$\phi(n)=n\prod_{p|n}\frac{p-1}p=nk$ Onde $k=\prod_{p|n}\frac{p-1}p$, e $n$ e $n^2$ compartilham os mesmos fatores primários, temos $$\phi(n^2)=n^2\prod_{p|n}\frac{p-1}p=n\left(n\prod_{p|n}\frac{p-1}p\right)=n(nk)=n\phi(n)$$
Continuando,
$$2d|\phi(n^2)\Rightarrow2d|n\phi(n)\Rightarrow2|m\phi(n)$$
Onde $dm=n$. Isso significa que$m$ é par (o que implica $n$ é par) ou $\phi(n)$ é mesmo.
Infelizmente, ainda estou longe de resolver o problema. É claro que mostrar$n$ é par ou $\phi(n)$ é mesmo não é suficiente para mostrar que $\frac{2^n+1}{n^2}$ é um número inteiro (os contra-exemplos incluem $n=4$ e $n=5$) Existem infinitos números que satisfazem as condições que estabeleci. No entanto, não tenho certeza de como proceder, então gostaria de alguma ajuda para terminar a pergunta.
Respostas
$\textbf{Hint:}$Considere o menor divisor primo de $n$.
Em seguida, use o lema "levantando o expoente".
Então, novamente, considere o segundo menor primo de $n$
Em primeiro lugar, considere o menor divisor primo, digamos $p$ do $n$. Não pode ser $2$. Então,$2^{2n}=1 \pmod {p}$, mas também por FLT $2^{p-1}=1 \pmod {p}$.
Esses dois juntos implicam que $2^{gcd(p-1,2n)}=1 \pmod {p}$.Mas agora, $gcd(p-1,2n)=2$ desde que, qualquer outro primo de $n$ seria maior que $p-1$.Isso implica que $3$ tem que ser o menor primo de $n$ .Desde a $2^2=1 \pmod{p}$ de cima.
Agora deduza usando o levantamento do lema do expoente que a maior potência de $3$ divisão $n$ é $1$.Então, considere o menor primo de $n/3$.
Use um argumento semelhante ao acima para mostrar que tem que ser $7$.Mas pelo fato de $3 \mid n$ mostrar que isso não pode acontecer. Então, a única solução seria $n=3$
(detalhes são omitidos desde que eu escrevi para servir como uma dica)
Para obter uma solução detalhada, veja aqui: aops