Como resolver uma equação não linear

Question

Quero resolver uma equação $$\log \left(\frac{b}{y}\right)=\left(\frac{x}{y}-a\right)^{\beta}.~~~~~~~~~(1)$$

Solve[Log[b/y] == (x/y - a)^\[Beta], y]

Aqui $b$, $x$, e $a$ são constantes (em princípio, temos $x/y\simeq a$) Eu quero encontrar a solução$y=?$

E se $a=0$, a solução é $$y^*=\left(-\frac{\beta x^{\beta}}{W\left(\beta\left(-b^{-\beta}\right) x^{\beta}\right)}\right)^{1/\beta},~~~~~~~~~(2)$$ Onde $W$ é a função ProductLog em MATHEMATICA.

Eu tento usar $y=y^*+c*x^\gamma$para encontrar o termo de correção, mas falhei. Eu acho que o termo de correção não é como$c*x^\gamma$.

Como posso encontrar o termo de correção? Para o meu problema,$a$ é importante e pode ser ignorado.

Obrigado!

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Em princípio, esse problema ainda não foi resolvido. Para o meu problema,$x$ tem alguma relação com $a$, que é desconhecido até agora. Portanto,$a$ não pode cuidar de $0$. Além disso, presumo que$a\to 0$, o resultado não é muito bom.

Answer 1

Você poderia usar AsymptoticSolve. Primeiro, a solução zero do pedido:

y0 = y /. First @ Solve[Log[b/y]==(x/y-a)^𝛽/.a->0, y]

Solve :: ifun: Funções inversas estão sendo usadas por Solve, então algumas soluções podem não ser encontradas; use Reduzir para obter informações completas sobre a solução.

(- ((x ^ 𝛽 𝛽) / ProductLog [-b ^ -𝛽 x ^ 𝛽 𝛽])) ^ (1 / 𝛽)

Em seguida, usando AsymptoticSolve:

AsymptoticSolve[Log[b/y] == (x/y-a)^𝛽, {y, y0}, a->0]

{{y -> ConditionalExpression [(- ((x ^ 𝛽 𝛽) / ProductLog [- ((x ^ 𝛽 𝛽) / b ^ 𝛽)])) ^ 𝛽 ^ (- 1) + ((-Log [b / (- ((x ^ 𝛽 𝛽) / ProductLog [- ((x ^ 𝛽 𝛽) / b ^ 𝛽)])) ^ 𝛽 ^ (- 1)] + (x / (- ((x ^ 𝛽 𝛽) / ProductLog [- ((x ^ 𝛽 𝛽) / b ^ 𝛽)])) ^ 𝛽 ^ (- 1)) ^ 𝛽) * (- ((x ^ 𝛽 𝛽) / ProductLog [- ((x ^ 𝛽 𝛽) / b ^ 𝛽)])) ^ 𝛽 ^ (- 1)) / (-1 + 𝛽 * (x / (- ((x ^ 𝛽 𝛽) / ProductLog [- ((x ^ 𝛽 𝛽) / b ^ 𝛽 )])) ^ 𝛽 ^ (- 1)) ^ 𝛽) - (a 𝛽 (-1 - Log [b / (- ((x ^ 𝛽 𝛽) / ProductLog [- ((x ^ 𝛽 𝛽) / b ^ 𝛽)])) ^ 𝛽 ^ (- 1)] + 𝛽 Log [b / (- ((x ^ 𝛽 𝛽) / ProductLog [- ((x ^ 𝛽 𝛽) / b ^ 𝛽)])) ^ 𝛽 ^ (-1)] + (x / (- ((x ^ 𝛽 𝛽) / ProductLog [- ((x ^ 𝛽 𝛽) / b ^ 𝛽)])) ^ 𝛽 ^ (- 1)) ^ 𝛽) (x / (- ((x ^ 𝛽 𝛽) / ProductLog [- ((x ^ 𝛽 𝛽) / b ^ 𝛽)])) ^ 𝛽 ^ (- 1)) ^ 𝛽 * (- ((x ^ 𝛽 𝛽) / ProductLog [- ((x ^ 𝛽 𝛽) / b ^ 𝛽)])) ^ (2 / 𝛽)) / (x * (- 1 + 𝛽 * (x / (- ((x ^ 𝛽 𝛽) / ProductLog [ - ((x ^ 𝛽 𝛽) / b ^ 𝛽)])) ^ 𝛽 ^ (- 1)) ^ 𝛽) ^ 2), -Log [b / (- ((x ^ 𝛽 𝛽) / ProductLog [- ( (x ^ 𝛽 𝛽) / b ^ 𝛽)])) ^ 𝛽 ^ (- 1)] + (x / (- ((x ^ 𝛽 𝛽) / ProductLog [- ((x ^ 𝛽 𝛽) / b ^ 𝛽 )])) ^ 𝛽 ^ (- 1)) ^ 𝛽 == 0]}}