Comparar impostos Cobb-Douglass e mais

Question

Deixe uma função de utilidade para um consumidor ser definida como $u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{1/2} x_{2}^{1/2}$. Com o orçamento$x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}=m$. Com valores$p_1=p_2=1, m=32$. O estado agora adiciona uma taxa de unidade 3 sobre$p_{1}$ (por unidade $x_1$)

Como isso afeta a utilidade? O que o estado ganha?

• Eu obtive a utilidade antes de ser 16 e depois de ser 8 com impostos correlacionados à unidade de 12 por $x_1$

O estado agora considera um imposto de renda de tal forma que a renda é agora $m-T$Quanto vai ganhar o estado com o novo sistema , mantendo o consumidor indiferente ? Qual sistema é melhor?

• Eu descobri que resolvo para o Imposto na função utilidade sob condições ótimas de demanda de modo que eu continue com utilidade igual a 8. Isso me deu 16 unidades de imposto de renda.

Como se faz a última parte matematicamente. Acho que o imposto de renda é melhor para o consumidor, mas como posso mostrar isso matematicamente?

Answer 1

A intuição que você tem está correta. Matematicamente, você pode demonstrá-lo derivando primeiro as escolhas ideais com o imposto de renda de montante fixo. Portanto, você configurará o seguinte lagrangiano:

$$\mathcal{L} = x^{1/2}_1 x^{1/2}_2 - \lambda [x_1p_1+x_2p_2 - m + T] $$

Isso dá a você 3 FOCs a restrição orçamentária e:

$$ 0.5x_1^{-0.5} x_2^{0.5} = \lambda p_1 \\ 0.5x_2^{-0.5} x_2^{0.5} = \lambda p_2$$

Resolva para o ideal $x_1^*$ e $x_2^*$:

$$ x_1^* = \frac{m-T}{2p_1} = \frac{32-T}{2} \\ x_2^* = \frac{m-T}{2p_2} = \frac{32-T}{2}$$

Onde aqui as segundas igualdades tiram proveito dos pressupostos de que $p_1 = p_2=1$ e $m=32$.

Agora você pode simplesmente conectar isso à função de utilidade e, supondo que você não cometeu nenhum erro, compare isso à utilidade com o imposto de consumo em $p_1$ então você terá:

$$ 8 = \left( \frac{32-T}{2}\right)^{0.5} \left( \frac{32-T}{2}\right)^{0.5} \\ T =16$$

Portanto, sob o regime de imposto de renda, o governo obtém $T=16> t=12$enquanto o consumidor ainda tem a mesma utilidade do imposto sobre o consumo, o que significa que o imposto de renda é melhor. A intuição para isso é que o imposto de renda não distorce os preços relativos, tem apenas um efeito sobre a renda, enquanto o imposto sobre o consumo tem efeitos sobre a renda e substituição.