Composição da Continuidade [Topologia]

Question

Estou tentando provar a afirmação que eu mesmo fiz.

Existem três espaços topológicos, $(X_1, T_1)$, $(X_2, T_2)$ e $(X_3, T_3)$. Colocar$G_i$ seja um conjunto aberto de cada $(X_i, T_i)$

Fale o $f: (X_1, T_1) \to (X_2, T_2)$ e $g: (X_2, T_2) \to (X_3, T_3)$

Então, a declaração abaixo é válida?

Declaração) Ambos $f$ e $g$ são contínuos $\iff $ $g\circ f : (X_1, T_1) \to (X_3, T_3)$ é contínuo.

No caso da direção "$\Rightarrow$"

$g\circ f$ é contínuo porque $f^{-1}(G_1) \in T_1$ e $f^{-1}(G_2) \in T_2$ para $\forall G_1, G_2$

Então eu poderia facilmente concluir o $(g\circ f)^{-1} (G_3) \in T_1$ (Ou seja, contínuo)

Mas o caso da direção oposta "$\Leftarrow$", Não peguei nem ideia que o comprove nem contra-exemplo.

Qualquer ajuda seria apreciada Obrigado.

Answer 1

A resposta é "não", mesmo quando $g=f$. Considerar$\mathbb{R}$ com a topologia euclidiana e

$$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ $$f(x)=\begin{cases} 1 &\text{if }x\geq 0 \\ 0 &\text{otherwise} \end{cases}$$

e observe que $f$não é contínuo. Mas$f(f(x))=1$ para qualquer $x\in\mathbb{R}$ e assim $f\circ f$ é contínuo.

Deixo como um exercício (ajustando este exemplo) que $g\circ f$ ser contínuo não diz nada sobre a continuidade de nenhum $g$ nem $f$.

Answer 2

Como @Kavi Rama Murthy disse no commnet, você pode ver $(g \circ f)$ pode ser contínuo ignorando $f$, E se $g$ seja constante.

Para outro exemplo, considere $(X_1,T_1)$ com topologia discreta, então $(g \circ f)$ torna-se contínuo ignorando $g$.