Compreendendo o espaço Fock

Question

Vamos começar com um espaço de Hilbert de uma única partícula $H$ com base $\{|\alpha\rangle\}$, Onde $\alpha$representa um conjunto completo de números quânticos. Se agora tomarmos duas partículas do mesmo tipo, devemos considerar o espaço$$H_2=H_1\otimes H_1,$$ e mais geralmente $n$ partículas vivem em $$H^{\otimes n}=H_1\otimes...\otimes H_1.$$ O espaço Fock (livre) agora é definido pela soma direta $$\mathcal{F(H)}:=\bigoplus_{n\ge 0} H^{\otimes n}.$$ Eu entendo porque tomamos os produtos tensores: queremos descrever todo o sistema de $n$partículas ao mesmo tempo. No entanto, não é nada claro para mim por que também precisamos assumir a soma direta. Qual é a sua interpretação física?

Answer 1

Considere partículas idênticas. Considere também, primeiro, apenas uma única partícula em seu sistema. Este "setor de 1 partícula" é descrito por Hilbert space$H_1$. Este é o primeiro mandato,$n=1$, na soma direta que você escreveu. ($n=0$pode ser provavelmente ignorado.) Considere agora duas partículas. O espaço de Hilbert deste sistema é$H_1 \otimes H_1$. Este é o segundo termo na soma direta. E assim por diante. Os setores com diferentes números de partículas são independentes e, portanto, você obtém a soma direta sobre eles.