Compreender o modelo de correção de erros

Question

Tenho vários problemas intuitivos com o modelo de correção de erros. Escreverei abaixo como entendo a derivação do modelo ECM com minhas consultas.

Deixei $I(y_t)=I(X_t)=1$ e considere o modelo: $$y_t=\alpha_0+\alpha_1y_{t-1}+\beta_0x_t+\beta_1x_{t-1}+u_t$$ Agora substitua $y_{t-1}$.

$$\Delta y_t= \alpha_0+p_1y_{t-1}+\beta_0x_t+\beta_1x_{t-1}+u_t$$

Depois disso, com a visão correta da equação, adicionamos $\beta_0x_{t-1}-\beta_0x_{t-1}$ para obter

$$\Delta y_t= \alpha_0+p_1y_{t-1}+\beta_0\Delta x_t+\theta_1x_{t-1}+u_t$$Agora temos que pensar um pouco. Porque$I(y_t)=1$ temos estacionariedade de variável $\Delta y_t$. A mesma justificativa que podemos aplicar à variável$\Delta x_t$. Em termos dessa forma de pensar, temos a seguinte equivalência:$$y_t \; \text{and} \; x_t \; \text{cointegrated} \Leftrightarrow u_t \text{stationary}$$

Para testar a estacionariedade de $u_t$podemos usar certos testes. O mais popular é o teste ADF. Depois de reivindicar a cointegração, estamos seguindo o algoritmo:

(1) Estime nosso modelo de regressão linear $y_t=c+\beta x_t+u_t$

(2) Extrair $u_{t-1}=(y_{t-1}-c-\beta x_{t-1})$ do modelo (1)

(3) Crie um novo modelo usando a forma equivalente de $u_t$ derivado na etapa (2) $\Delta y_t=\beta_0+\beta_1 \Delta x_t + \beta_2 u_{t-1}+\epsilon_t=\beta_0+\beta_1 \Delta x_t +\beta_2(y_{t-1}-c-\beta x_{t-1})$

E o modelo derivado no ponto (3) é o modelo de correção de erro final que devemos usar. Tenho várias dúvidas sobre isso

(1) O que é exatamente variável $y_{t-1}$? Digamos que y é um vetor criado por números de 1 a 100. O que exatamente é$y_{t-1}$? Não podem ser apenas números de 1 a 99 porque então$y_t$ e $y_{t-1}$ têm comprimentos diferentes e o modelo não pode ser criado (o primeiro)

(2) Por que estamos derivando o modelo ECM após reivindicar a estacionariedade de $u_t$? E se$x_t$ e $y_t$ é cointegrado porque não usamos apenas o modelo padrão $y_t=\alpha_0+\alpha_1 x_t +\epsilon_t$? Eu entendo que ECM é melhor do que simplesmente$\Delta y_t= \alpha_0 + \alpha_1 \Delta x_t + \epsilon_t$ mas não consegui encontrar nenhuma explicação de porque é melhor do que o modelo padrão.

(3) Qual é exatamente a interpretação de $\beta_2$ no ECM (valor próximo a $u_{t-1})$? O que significa quando$\beta_2$ é grande ou pequeno?

(4) O ECM pode ser aplicado apenas à regressão univariada?

Answer 1

Vou responder muito brevemente. A maioria de suas perguntas são respondidas nos textos de Lutkephol ou Banerjee & Dolado.

1. A razão para construir um ecm é que o termo de erro original, $\epsilon_t$, na regressão original não é estacionária. Em suas derivações, você nunca alterou o termo de erro de$\epsilon_t$ para $u_t$e escreveu a mesma coisa todas as vezes. É apenas quando você faz a equação I (0) em ambos os lados que o termo de erro TRANSFORMADO se torna estacionário. Além disso, é necessário testar a não estacionariedade de$\epsilon_t$ usando o ADF ou algum outro teste.

2. Sim, alguém perderá um ponto de dados no ECM porque $y_t$ é um lado e $y_{t-1}$está do outro. Não há muito que possa ser feito sobre isso. Portanto, se você tiver 100 pontos de dados, o ECM consistirá em 99 equações.

3. $\beta_2$mede a quantidade de reversão de nível em cada etapa. Então, quanto faz a diferença entre$y_{t-1}$ e (c + $x_{t-1}$) causa $y_t$ para chutar na outra direção.

4. O VECM é o análogo multivariado do ECM. Eu daria uma olhada em Lutkepohl para isso.

Esta é obviamente uma resposta breve. Os detalhes sangrentos estão nos textos mencionados. Espero que tenha ajudado um pouco, mas recomendo a leitura desses textos ou pelo menos partes deles.