Conexão inversa do chi gaussiano

Question

A distribuição Gaussiana inversa $IG(\mu,\lambda)$ está associado com a densidade $$f(x;\mu,\lambda) = \sqrt{\frac{\lambda}{2\pi x^3}}\,\exp\left\{-\frac{\lambda(x-\mu)^2}{2\mu^2x}\right\}\qquad \lambda,\mu,x>0$$Em Schuster (1968) , a seguinte conexão com o$\chi^2(1)$ a distribuição é feita: se $X\sim IG(\mu,\lambda)$ então$$Z=\frac{\lambda(X-\mu)^2}{2\mu^2X}\sim\chi^2(1)$$ Ao olhar para a prova

Eu não posso preencher a lacuna entre a definição de $Z$ [como uma transformação um-para-um de $Y$] e a conclusão "imediata" de que é um $\chi^2(1)$variate. A revisão de 1978 por Folks e Chhikara não fornece esclarecimentos adicionais.

Answer 1

A prova não é exatamente padrão, embora se relacione com a "lei do estatístico inconsciente" [uma expressão que não consigo compreender e não acho divertida] :

Primeiro, defina $Y=\min\{X,\mu^2/X\}$ que pertence a $(0,\mu)$. A densidade de$Y$ pode ser derivado de $(y<\mu)$ $$\mathbb P(Y\le y) = \mathbb P(X\le y)+\mathbb P(\mu^2/X \le y\,,\,X>\mu)$$ Como $$f_Y(y;\mu,\lambda)=\left\{f_X(y)+\frac{\mu^2}{y^2}f_X(\mu^2/y)\right\}\mathbb I_{(0,\mu)}(y)$$ E se notarmos que $$\dfrac{(\mu-\mu^2/y)^2}{\mu^2\,\mu^2/y}=\dfrac{(\mu-\mu^2/y)^2}{\mu^2\,\mu^2/y}=\dfrac{(\mu-y)^2}{\mu^2\,y}$$ que também é o porquê $Z=\frac{(X-\mu)^2}{\mu^2X}$, então \begin{align}f_Y(y;\mu,\lambda)&=\sqrt{\frac{\lambda}{2\pi}}\,e^{-\frac{\lambda(\mu-y)^2}{2\mu^2\,y}}\left\{y^{-3/2}+\mu^{-1}\,y^{-1/2} \right\}\\ &=\sqrt{\frac{\lambda}{2\pi}}\,e^{-\frac{\lambda(\mu-y)^2}{2\mu^2\,y}}\,y^{-3/2}\mu^{-1}\,(\mu+y)\end{align} Se considerarmos a transformação$$H(y) = \dfrac{\lambda(\mu-y)^2}{\mu^2\,y}$$ então \begin{align}\left\vert\dfrac{\text{d}H(y)}{\text{d}y}\right\vert &=\frac{\lambda}{\mu^2} \frac{(\mu-y)}{y}\left\{\frac{\mu-y}{y}+2 \right\}\\ &=\frac{\lambda}{\mu^2}\frac{(\mu-y)(\mu+y)}{y^2}\\ &=\frac{\sqrt{\lambda}}{\mu}H(y)^{1/2}\frac{(\mu+y)}{y^{3/2}} \end{align} O que leva a $$\require{enclose} f_Y(y;\mu,\lambda)\text{d}y=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-z/2}\,z^{-1/2}\frac{\text{d}z}{\enclose{horizontalstrike}{\text{d}y}}\,\enclose{horizontalstrike}{\text{d}y}=f_Z(z;\mu,\lambda)\text{d}z$$ ou seja, um qui-quadrado $\chi^2(1)$ densidade.

Observe que uma prova do acima usando a função de geração de momento de $Z$é direto (comunicação de Éric Marchand de Sherbrooke) e que o livro de Seshadri de 1994, The Inverse Gaussian Distribution, é a referência definitiva no assunto (comunicação de Gérard Letac).