Conexões incomuns de números
Vamos ter a equação $(DX)^2-Y^2= ± Z^5$ e $x,y$dois inteiros positivos maiores que zero. A partir de alguns fatos, podemos obter soluções da equação acima, dando valores inteiros em$x,y$. Exemplos:
E se $x=11$ e $y=2$ então nós temos a solução $11*(641)^2-(2122)^2=7^5$;
E se $x=5$ e $y=2$ então nós temos a solução $5*(305)^2-(682)^2=1^5$;
E se $x=7$ e $y=4$ então nós temos a solução $7*(2449)^2-(6484)^2=(-9)^5$.
O quebra-cabeça é:
Você pode apresentar mais soluções desse tipo?
Qual é o truque para resolver essas equações?
Respostas
O processo de cálculo
Dado $x$ e $y$, calcular
$x-y^2=Z$,
de modo a
$(y-\sqrt{x})(y+\sqrt{x})=-Z$.
Tomar poderes, isso significa
$(y-\sqrt{x})^5(y+\sqrt{x})^5=-Z^5$.
Agora sabemos que
$(y+\sqrt{x})^5$ é um número no formulário $Y+X\sqrt{x}$ para alguns inteiros $X,Y$, e então por conjugação $(y-\sqrt{x})^5=Y-X\sqrt{x}$.
Então, encontramos uma solução
$(Y-X\sqrt{x})(Y+X\sqrt{x})=-Z^5$,
ou em outras palavras $DX^2-Y^2=Z^5$ com
$D=x$, $X=5y^4+10xy^2+x^2$, $Y=y^5+10xy^3+5x^2y$,
ou na notação do OP $(DX)^2-Y^2=Z^5$ com
$D=\sqrt{x}$, $X=5y^4+10xy^2+x^2$, $Y=y^5+10xy^3+5x^2y$.
Um exemplo
Vamos começar com o exemplo relativamente simples $x=2,y=1$ e calcule da seguinte forma:
-
$Z=1$, $(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})=-1$,
-
$(1+\sqrt{2})^5=1+5(\sqrt{2})+10(2)+10(2\sqrt{2})+5(4)+(4\sqrt{2})=41+29\sqrt{2}$,
-
$(41-29\sqrt{2})(41+29\sqrt{2})=(-1)^5$,
e a solução $2*(29)^2-(41)^2=1^5$, que pode ser verificado pela calculadora.
Como outro exemplo com um valor par de $Z$vamos usar $x=3,y=1$ e pegue:
-
$Z=2$, $(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})=-2$,
-
$(1+\sqrt{3})^5=1+5(\sqrt{3})+10(3)+10(3\sqrt{3})+5(9)+(9\sqrt{3})=76+44\sqrt{3}$,
-
$(76-44\sqrt{3})(76+44\sqrt{3})=(-2)^5$,
e a solução $3*(44)^2-(76)^2=2^5$, que pode ser verificado pela calculadora.
Meu processo de pensamento
Todo esse quebra-cabeça parece ter algo a ver com
A equação de Pell e a teoria associada de campos de números algébricos,
de fato, o segundo dos exemplos dados no OP é, na verdade, uma solução dessa equação. O novo recurso nesse quebra-cabeça, em comparação com as coisas que aprendi nos cursos de graduação de teoria dos números, é o envolvimento dos quintos poderes. Como podemos relacionar os quintos poderes com
a aritmética de raiz quadrada que permite soluções da equação de Pell? Bem, se tivermos$a-b\sqrt{d}$ dando origem a um inteiro $n$ quando multiplicado por seu conjugado, então $(a-b\sqrt{d})^5$ irá da mesma forma dar origem ao inteiro $n^5$.
Em seguida, localizei o padrão nos valores fornecidos que
$11-2^2=7$, $5-2^2=1$, $7-4^2=-9$,
o que me confirmou a direção em que abordar esse quebra-cabeça.