Constante de Euler e função de von Mangoldt

Question

Alguém pode fornecer uma referência ou link sobre como a seguinte equação foi derivada:

$\gamma = (1/2)*\sum \frac{1-\Lambda (k)}{k}$

onde a soma é sobre k> = 1, γ é a constante de Euler-Mascheroni e Λ (k) é a função de von Mangoldt.

Obrigado.

Answer 1

$\sum \frac{1-\Lambda(k)}{k} = \lim \limits_{n \to \infty} \sum \limits_{k \leq n} \frac{1-\Lambda(k)}{k} = \lim \limits_{n \to \infty} \sum \limits_{k \leq n} \frac{1}{k} - \sum \limits_{k \leq n} \frac{\Lambda(k)}{n} = H_n - \sum \limits_{p \leq n} \frac{\ln p}{p} - \sum \limits_{p \leq n } \sum \limits_{r=2}^{\infty} \frac{\ln p}{ p^r} $

Terceiro teorema de Mertens e PNT $\sum \limits_{p \leq n} \frac{\ln p}{p} = \ln n - \gamma - \sum \limits_{P} \frac{\ln p}{p (p-1)} + o(\frac{1}{\ln n})$

E $H_n = \ln n +\gamma + O(\frac{1}{n})$, Além disso $\sum \limits_{P} \sum \limits_{r=2}^{\infty} \frac{\ln p}{ p^r} = \sum \limits_{P} \frac{\ln p}{p (p-1)} $

Com o limite $ n \to \infty$ nós entendemos isso $ \sum \frac{1-\Lambda(k)}{k} = 2 \gamma$

Observação: acho que você é forçado a usar "PNT" de qualquer maneira que abordar o problema.