construindo homotopia

Question

Deixei $X,Y$ ser espaços topológicos e $f,g:X \rightarrow Y$ser mapas contínuos. Suponha$f,g$ são homotópicos por homotopia $H:X \times [0,1] \rightarrow Y$. Deixei$\gamma$ seja um caminho em $Y$ com endpoints $y_0=f(x_0)$ e $z_0=g(x_0)$ definido por $\gamma(t)=H(x_0,t)$.
Deixei$\alpha:[0,1] \rightarrow X$ ser um loop em $X$ com $\alpha(0)=\alpha(1)=x_0$.
Gostaria de mostrar que os caminhos$f \circ \alpha$ e $\gamma \ast ((g \circ \alpha) \ast \bar{\gamma})$ são homotópicos de caminho através da construção de uma homotopia $G:[0,1] \times [0,1] \rightarrow Y$.
Eu sei disso$\gamma$ induz uma mudança de isomorfismo do ponto de base $T_{\gamma}:\pi_1(Y;z_0) \rightarrow \pi_1(Y;y_0)$ dado por $T_{\gamma}([\beta])=[\gamma \ast \beta \ast \bar{\gamma}]$ para todos $[\beta]\in \pi_1(Y;z_0)$.
Não sei como construir essa homotopia$G$ especificamente, mas sei que deve satisfazer o seguinte: $$G(s,0)=(f \circ \alpha)(s)$$ $$G(s,1)=(\gamma \ast ((g \circ \alpha) \ast \bar{\gamma}))(s)$$ $$G(0,t)=(f \circ \alpha)(0)=(\gamma \ast ((g \circ \alpha) \ast \bar{\gamma}))(0)$$ $$G(1,t)=(f \circ \alpha)(1)=(\gamma \ast ((g \circ \alpha) \ast \bar{\gamma}))(1).$$

Answer 1

TEOREMA: Deixe $h:X \to Y$ser uma função contínua. E se$α,β$ são caminhos homotópicos em $X$ então $hoα$ e $hoβ$ são homotópicos em $Y$.
Somos informados de que existe um mapa contínuo$H:X×I \to Y$ de tal modo que $H(x,0)=f(x)$ e $H(x,1)=g(x)$.
Portanto, para mostrar que os caminhos$foα$ e $\gamma \ast (goα) \ast \hat \gamma$ são homotópicos, temos que procurar caminhos em $X×I$ de modo que sua imagem sob H é $foα$ e $\gamma \ast (goα) \ast \hat \gamma$.
Deixei$c(t)=(x_0,t)$, $p(s)=(α(s),0)$, $q(s)=(α(s),1)$. Conseqüentemente$p$ e $c \ast q \ast \hat c$são os nossos caminhos necessários.
Agora deixe$G:I×I \to X×I$ ser definido como $G(s,t)=(α(s),t)$. Agora, se pudermos encontrar caminhos em$I×I$ de modo que sua imagem sob G são $p$ e $c \ast q \ast \hat c$ terminamos porque isso significa $p$ e $c \ast q \ast \hat c$são homotópicos.
Deixei$a(t)= (0,t)$, $b(s)=(s,1)$, $c(t)=(1,t)$ e $d(s)=(s,0)$.
Pode ser visto que$d$ e $a \ast b \ast \hat c$são os caminhos necessários. Agora, uma vez que esses dois caminhos$d$ e $a \ast b \ast \hat c$ têm o mesmo ponto inicial e terminal e desde $I×I$está simplesmente conectado, eles são homotópicos. Implica$p$ e $c \ast q \ast \hat c$ são homotópicos implica $foα$ e $\gamma \ast (goα) \ast \hat \gamma$ são homotópicos.