Continuidade em $\mathcal{C}([0,1])$ debaixo $L^2$ norma

Question

Preciso provar (ou mostrar um contra-exemplo) que a seguinte função: $$ \begin{array}{rcl} F: \mathcal{C}([0,1]) & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \int_0^1 x(t)\ dt \end{array}$$ é contínuo em relação ao $L^2$ norma em $\mathcal{C}([0,1])$, qual é: $$\lVert x \rVert_2=\sqrt{\int_0^1|x(t)|^2 \ dt}$$

Caso seja contínuo, sei que bastaria mostrar que o $L^2 $ norma de alguma forma limita o $L^1$ norma de cima, desde: $$\bigg|\int_0^1 x(t) \ dt -\int_0^1 \overline{x}(t) \ dx \bigg|\leq\int_0^1|x(t)-\overline{x}(t)| \ dt = \lVert x-\overline{x}\rVert_1$$

Caso contrário, eu teria que encontrar um exemplo de uma sequência de funções $(x_n)_n$ que converge para algum ponto $\overline{x}$ de tal modo que $\int_0^1 x_n(t) \ dt$ não converge para $\int_0^1 \overline{x}(t) \ dt$. Alguma ideia?

Answer 1

Você pode provar isso $F$ é contínuo usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz\begin{align}|F(x)|&=\left|\int_0^1x(t)\,\mathrm dt\right|\\&=\left|\int_0^1x(t)\times1\,\mathrm dt\right|\\&\leqslant\sqrt{\int_0^1x^2(t)\,\mathrm dt}\sqrt{\int_0^11^2\,\mathrm dt}\\&=\|x\|.\end{align}