Contra-exemplo do lema de Schur

Question

Estou estudando teoria da representação básica usando GTM$42$, encontrando um problema no lema de Schur:

Schur Lemma . Dado$G$ um grupo, $V$ um espaço vetorial em $\mathbb C$ e uma representação irredutível $\rho : G \to Gl(V)$. Se um mapa linear$f : V \rightarrow V$ comuta com todos $\rho_g, g\in G$, então $f=\lambda$ para alguns $\lambda\in \mathbb C$.

A prova deste lema depende do fato de que $\mathbb C$é fechado algébricamente. Agora me pedem para dar um contra-exemplo deste lema quando$V$ está ligado $\mathbb Q$ mas não consigo encontrar um (não estou familiarizado com subgrupos de $Gl(n,\mathbb Q)$) Além disso, estou me perguntando se existe um contra-exemplo para algum campo não fechado algebricamente.

Qualquer ajuda será apreciada.

Answer 1

O lema de Schur depende da existência de autovalores suficientes. Então pegue$f$não ter autovalores no campo base. Considere, por exemplo, a rotação do plano racional$f = \begin{bmatrix} 0&-1\\1&0\end{bmatrix}$. este$f$ tem pedido 4, então vou pegar $G = \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ com $1\mapsto f$.

Agora $\mathbb{Q}^2$ é uma representação irredutível (porque qualquer subespaço invariante adequado deve ser unidimensional) de $G$ e $f\colon\mathbb{Q}^2\to\mathbb{Q}^2$ é $G$-linear, mas não é multiplicação escalar. Aliás, isso também dá um exemplo de uma representação irredutível de um grupo abeliano não de dimensão 1. (O mesmo se aplica a qualquer campo sem uma raiz quadrada de$-1$)