Convergência da função do indicador

Question

Deixei $\{x_k\}_{k\in\mathbb{N}}\subset\mathbb{R}^n$ e $x\in\mathbb{R}^n$ de tal modo que: $x_k\to x$, $k\to+\infty$. É verdade que: $\chi_{B_R(x_k)}\to\chi_{B_R(x)}$, $k\to+\infty$, pontualmente em $\mathbb{R}^n$? Nesse caso, você pode me dar uma prova rigorosa desse fato?

Answer 1

Em $\mathbb R,$ faz $\chi_{B(1/k,1)} \to \chi_{B(0,1)}$em toda parte? Não, porque$\chi_{B(0,1)}(1)=0,$ enquanto $\chi_{B(1/k,1)}(1)=1$ para todos $k.$

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Adicionado mais tarde : O OP pergunta se temos$\chi_{B(x_k,R)} \to \chi_{B(x,R)}$ae A resposta é sim. Primeira correção$y\in B(x,R).$ Então $|y-x|=R-\epsilon.$ Para grande $k$ nós teremos $|x-x_k|<\epsilon/2.$ Por tal $k,$

$$|y-x_k|\le |y-x| + |x-x_k| <R-\epsilon+\epsilon/2 = R-\epsilon/2.$$

Assim, para grande $k,$ $y\in B(x_k,R),$ que implica $1= \chi_{B(x_k,R)}(y)=\chi_{B(x,R)}(y).$ Então, para qualquer $y \in B(x,R),$ obtemos convergência pontual.

Um argumento semelhante mostra que se $|y-x|>R,$ então temos convergência pontual em $y$ (para $0$)

De locação $C$ seja o conjunto onde a convergência pontual se mantém, vemos $ B(x,R)\subset C\subset \{|y|>R\}.$ Portanto, o único conjunto onde não temos convergência pontual é um subconjunto de $\partial B(x,R),$ um conjunto de medidas $0.$