Converse com o Teorema de Darboux

Question

Tenho pensado em conceitos relacionados à diferenciabilidade. Em particular, sendo contínuo, tendo uma antiderivada (isto é, sendo a derivada de algo), e a Propriedade de Valor Intermediário (satisfazendo a conclusão do Teorema do Valor Intermediário, algumas vezes chamado de função de Darboux).

As funções contínuas têm o IVP, pelo Int Value Thm, mas o inverso é falso. As funções contínuas têm antiderivadas, pelo Fundo Thm do Calc, mas os derivados não precisam ser contínuos. E funções que são derivadas possuem o IVP, pelo Teorema de Darboux.

A implicação que não consegui encontrar é se as funções com o IVP devem ter antiderivadas. Os contra-exemplos clássicos para esses tipos de questões são funções$f(x)=x^n\sin\left(\frac1x\right)$. Mas se olharmos, digamos$f(x)=\sin\left(\frac1x\right)$, este tem o IVP, mas quais métodos existem para mostrar que não tem antiderivada, uma vez que não podemos usar o Teorema de Darboux?

Answer 1

Uma função com IVP não tem necessariamente uma antiderivada. A principal razão é que uma função PIV pode ser extremamente descontínua, enquanto uma função com uma antiderivada não.

Em um pouco mais de detalhe, a função de Conway Base 13 é uma função que tem o IVP, mas não é contínua em nenhum lugar.

Por outro lado, se $f$ tem uma antiderivada então $f$deve ser uma função Baire classe 1 (ou seja, um limite pontual de funções contínuas), que podemos ver apenas observando a definição de ser uma derivada. O conjunto de descontinuidades de uma função Baire classe 1 é sempre um conjunto reduzido.

Juntas, essas duas coisas mostram que a função de Conway é uma função IVP sem uma antiderivada.