Coordenadas conformes na superfície

Question

Suponha $\Omega$ é um domínio em $R^2$, deixei $F: \Omega\rightarrow R^3$ seja um mapa suave de tal forma que $F(\Omega)$é uma superfície lisa. A métrica na superfície é$$g=F_x\cdot F_x dx^2+2F_x\cdot F_y dxdy+F_y\cdot F_y dy^2$$ Temos outro sistema de coordenadas, de modo que a métrica seja $g=\rho(u,v)(du^2+dv^2)$? Eu descobri algo sobre coordenadas isotérmicas online. Do meu entendimento, esses resultados são locais. Podemos encontrar na íntegra$\Omega$? Não tenho certeza se a topologia (simplesmente conectado, etc) afeta o resultado.

Answer 1

Vamos supor que $\partial\Omega$é suave. Então como$\Omega\subset \mathbb{R}^2$, sabemos que depois de 'preencher os buracos', obtemos um gênero $0$superfície e esta resposta se aplica e garante a existência de um mapa harmônico$u:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$sem pontos críticos. Então$*du$ é um formulário único fechado (onde $*$ é a estrela de Hodge para a métrica de retração $g =F^*\langle\cdot,\cdot\rangle_{\mathbb{R}^3}$)

E se $*du$ acontece de ser exato, então temos $*du=dv$ para uma função suave $v:\Omega\rightarrow \mathbb{R}$. Exatidão de$*du$ segue, por exemplo, se $\Omega$ está simplesmente conectado (ou mais geralmente se $H^1(\Omega,\mathbb{R})=0$) Então$(u,v):(\Omega,g)\rightarrow \mathbb{R}^2$lhe dará coordenadas isotérmicas globais , que é exatamente o que você deseja.