Decompondo um pacote normal

Question

Estou lendo um artigo sobre geometria simplética. Cheguei a um ponto em que o autor usa pacotes normais (que conheço a definição, mas nunca trabalhei). Na verdade, ele decompõe um determinado pacote normal em uma soma de dois outros pacotes normais. Não posso dar minha pergunta precisa e os pacotes normais de que estou falando, porque isso vai exigir a introdução de muitas coisas. Mas acho que ele usa o seguinte argumento:

Seja M uma variedade suave, e sejam C e P duas subvariedades de M tal que: $ C \subset P \subset M.$

Seja N o pacote normal de C em M,

$N_1:=$ o feixe normal de C em P.

$N_2:=$ o feixe normal de P em M, restrito a C.

Então, nós temos $N = N_1 \oplus N_2.$

Minhas perguntas são: primeiro, qual é o significado de restringir um pacote normal a uma subvariedade (como é usado para definir o pacote normal $N_2)$, e o segundo é, é o argumento acima verdadeiro, ou seja, é $N = N_1 \oplus N_2.$ ?

Answer 1

Em geral, dado um pacote vetorial $\pi:B\to M$ e uma subvariedade incorporada $S\subseteq M$, pode-se definir o pacote restrito como $R=\pi^{-1}(S)$, com a projeção dada por $\pi|_R:R\to S$. Este também é um pacote vetorial. Esta restrição também pode ser definida como o pacote pullback$R=\iota^*B$ Onde $\iota:S\to M$ é o mapa de inclusão.

Para sua segunda pergunta, a resposta é sim; isso pode ser visto observando que, por$p\in C$, temos as decomposições $T_pM=T_pP\oplus N_pP$ e $T_pP=T_pC\oplus N_pC$ Onde $N_pC$ denota o espaço normal escrito $P$.