Definição de supremo
Estou apenas perplexo com uma observação que fiz sobre textos de graduação em Análise Real. Os conceitos de supremo e ínfimo não são particularmente fáceis de entender para alunos que são novos no assunto, e é certamente muito mais fácil para eles entenderem o máximo e o mínimo de um conjunto (incluindo o fato de que eles podem não existir) e dos limites superiores. Tudo o que se tem a fazer é apontar intervalos como$[0,2]$ e $[0,2)$ e falar sobre o número 2 e o número 3. Então, por que não definir o menor limite superior de um conjunto $S$ (em um campo ordenado) como o mínimo (se existir) do conjunto de todos os limites superiores para $S$?
Eu examinei um grande número de textos de graduação para Análise Real e nunca encontrei esta definição simples, ou a palavra "mínimo" sequer mencionada. A maioria deles irá defini-lo usando a maneira muito mais difícil "é um limite superior e, para qualquer número estritamente inferior a ele, haverá algum etc. etc.". Alguns dirão: é um limite superior$M$ tal que se $x$ é um limite superior, então $M\leq x$. Novamente, por que não dizer, "é o mínimo do conjunto de todos os limites superiores"? Alguns dirão apenas "é o menor limite superior", mas mesmo isso é uma mudança de linguagem, do mínimo para o mínimo e, em qualquer caso, eles usam "mínimo limite superior" como apenas o nome para o conceito, passando a defini-lo usando a maneira complicada.
Não pretendo postar isso como um tópico de discussão, apenas como uma pergunta genuína sobre se estou perdendo algo importante que explique por que é uma boa ideia definir supremum dessa forma.
Respostas
Não acho que haja nenhuma diferença entre dizer que é o "é o menor limite superior" ou dizer que é o "é o mínimo do conjunto de todos os limites superiores".
Deixei $S$ seja um conjunto e deixe $M$ser o conjunto de todos os limites superiores. Então, temos dois casos possíveis:$\exists \max S$ ou $\nexists \max S$:
$\exists \max S$:
E se $\exists \max S$, então isso significa que $\forall s \in S, s \leq \max S$, então isso implica que $\max S \in M$.
Agora, vamos supor que $\max S$ não é o mínimo de $M$. Isso significa que:$\exists m \in M: m < \max S$. Então,$\forall x \in S, x \leq m$, Porque $m$também é um limite superior. Mas$\max S \in S$, então isso significa que $\max S \leq m$. A propriedade definidora de$m$ estava: $m \in M: m < \max S$. Portanto, isso é uma contradição. Isso significa que$\max S$ é de fato o mínimo de $M$ e assim $\sup S = \min M = \max S$.
$\nexists \max S$:
Agora vamos assumir que $\nexists \max S$. Deixei$M$ ser o conjunto de todos os limites superiores.
Vamos supor que $\nexists \min M$. Isso significa que$\nexists m \in M: \forall x \in M, m \leq x$. Isso significaria que se$a_1 \in M$, então $\forall s \in S$: $s \leq a_1$. Mas porque$a_1$ não é um mínimo então $\exists a_2 \in M: s \leq a_2 \leq a_1$. o que significa que podemos chegar arbitrariamente perto como queremos de$s$. Então, isso significa que podemos encontrar uma sequência$(a_i)_{i \in \mathbb N} \in M$ de tal modo que $\lim _n a_n = s$.
Agora deixe $s_1, s_2 \in S$ de tal modo que $s_1 < s_2$. Então podemos encontrar uma sequência$(a_i)_{i \in \mathbb N} \in M$ de tal modo que $\lim _n a_n = s_1$. Mas porque podemos chegar arbitrariamente perto de$s_1$, Isso significa que $\exists k \in \Bbb N:$ E se $n \geq k$ então $s_1 < a_n < s_2$. Isso é uma contradição, pois$a_n \in M$é um limite superior. Isso significa que$\exists \min M$.
Então conclua que $\sup S = \min M$ mesmo se $\nexists \max S$.
Então, para cada conjunto $S$, $\sup S = \min M$. Você pode fazer um argumento semelhante para mostrar que$\inf S = \max M$