Dependência do tempo dos operadores

Question

Na Introdução à Mecânica Quântica de Griffiths, enquanto estudava a evolução temporal do valor esperado da posição, o autor escreveu: $$\langle x\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}x|\Psi(x,t)|^2\,dx.$$

então $$\frac{d\langle x\rangle}{dt}=\int x\frac{\partial}{\partial t}|\Psi(x,t)|^2\,dx.$$

Ele acabou de assumir que $x$não tem dependência do tempo? E porque?

Answer 1

Ele acabou de presumir que x não tem dependência do tempo? E porque?

Sim. O resultado de uma integral do formulário$$\int_{\mathbb{R}} f(x,t) \, dx \tag{1}$$ é uma função do tempo $t$; isto é, uma função de uma variável real (ou, falando vagamente, a integral será avaliada para uma quantidade que não dependerá de$x$, apenas em $t$) Assim, ao diferenciar$(1)$, alguém obteria: $$\frac{\text{d}}{\text{d}t} \int_{\mathbb{R}} f(x,t) \, dx = \int \frac{\partial f}{\partial t}(x,t) \, dx$$como ditado pelo Teorema Integral de Leibniz (observe que assumi algumas suposições fracas sobre o comportamento de$f$, mas não é de grande interesse aqui). Uma aplicação trivial disso em$$\langle x \rangle := \int_{\mathbb{R}} x |{\Psi(x,t)}|^2 \, dx$$ produz o resultado desejável.

Answer 2

Existem duas formulações da mecânica quântica:

• Representação de Schrödinger . A evolução do tempo é codificada no vetor de estado, função de onda -$\Psi(x,t)$, e os observáveis ​​(operadores) são constantes no tempo
• Representação de Heisenberg . Agora, os operadores evoluem no tempo e os vetores de estado são independentes do tempo, mantidos fixos.

No caso de teorias em interação, há uma representação de interação híbrida . Aqui os operadores evoluem com o hamiltoniano não interagente$H_0$, e os estados evoluem por meio da parte de interação $H_I$.

Portanto, no seu caso, o autor usa a representação de Schrödinger.