Derivação da transformada wavelet contínua inversa?

Oct 31 2020

Wiki escreve iCWT como

$$ f(t) = C_{\psi}^{-1} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} W_f(a,b) \frac{1}{|a|^{1/2}} \tilde\psi \left(\frac{t - b}{a}\right) db \frac{da}{a^2}, \tag{1} $$

Onde $\tilde\psi$é a onda dupla de$\psi$ na CWT, $W_f$ é o CWT de $f$e $C_\psi$ é a constante admissível

$$ C_\psi = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\bar{\hat{\psi}}(\omega) \hat{\tilde{\psi}}(\omega)}{|\omega|} d\omega, \tag{2} $$

Chapéu = $\mathcal{F}$, overbar = conjugado complexo. Algumas wavelets são duais próprias,$\psi = \tilde\psi$; então o integrando é$|\hat\psi(\omega)|^2 / |\omega|$.

Como faz $(1)$inverter o CWT? E por que existe um$a^{-2}$fator de normalização? As wavelets acima são normadas L2 - normalizamos iCWT de forma diferente se elas forem normadas L1 (ou$|a|^{-1}$)?

A normalização é particularmente preocupante; na transformação direta, fazemos$|a|^{-1/2}$, então, em inversão, pode-se esperar $|a|^{1/2}$para o cancelamento, mas apenas vai a outra maneira: outro $|a|^{-1/2}$, ao longo $a^{-2}$. O papel de$C_\psi ^{-1}$ também não está claro.

Respostas

OverLordGoldDragon Oct 30 2020 at 23:34

Resumo : o papel da wavelet dupla é análogo ao de$e^{j\omega t}$; que desfaz convolving do wavelet com o sinal (produto interno integrado). A complexidade principal está, de fato, na normalização; não há uma resposta exata sem se aprofundar na matemática (feito abaixo) - mas intuitivamente, o aparentemente piora da matéria$a^{-2}$é devido em parte à natureza dilatadora da wavelet, ou seja,$\psi(t/a)$, que após a inversão requer redução de escala não apenas para preservar a energia de maneira adequada, mas reconstruir corretamente desfazendo o produto interno.

Abaixo estão mais "provas" em vez de "derivações", pois funcionam ao contrário para mostrar igualdade com $f(t)$, mas eu as denomino como provas completas que estão além do escopo desta resposta.

Derivação 1: Teorema de Convolução

Colou por conveniência o CWT e o iCWT

$$ W_f(a, b) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \frac{1}{|a|^{1/2}} \psi \left(\frac{t - b}{a}\right) dt \tag{0} $$ $$ f(t) = \frac{1}{C_{\psi}} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} W_f(a,b) \frac{1}{|a|^{1/2}} \psi \left(\frac{t - b}{a}\right) db \frac{da}{a^2}, \tag{1} $$

Comece reescrevendo o CWT como uma convolução: $W_f(a, b) = f \star {\bar\psi_a}(b)$, Onde $\psi_a(t)=a^{-1/2}\psi(t/a)$. Inserindo em$(1)$, e deixando o lado direito igual $b(t)$,

$$ \begin{align} b(t) &= \frac{1}{C_\psi} \int_0^{\infty} W_f(.,a) \star \psi_a(t) \frac{da}{a^2} \\ &= \frac{1}{C_\psi} \int_0^{\infty} f \star {\bar\psi_a}(b) \star \psi_a(t) \frac{da}{a^2} \tag{2} \end{align} $$

onde também expressamos o $db$ integral como uma convolução, e $"."$indica a variável sobre a qual a convolução é calculada. Nós provamos$b=f$mostrando que suas transformadas de Fourier são iguais. Com$\hat{} = \mathcal{F}$,

$$ \begin{align} {\hat b}(\omega) &= \frac{1}{C_\psi} \int_0^{\infty} {\hat f}(\omega) \sqrt{a} {\bar{\hat \psi}}(a\omega) \sqrt{a} {\hat\psi}(a\omega) \frac{da}{a^2} \tag{3a} \\ &= \frac{{\hat f}(\omega)}{C_\psi} \int_0^{\infty} \tag{3b} |{\hat \psi}(a\omega)|^2 \frac{da}{a} \end{align} $$

Com mudança de variáveis $\xi = a\omega$, nós, portanto, 'provamos'

$$ {\hat b}(\omega) = {\hat f}(\omega) \left(\frac{1}{C_\psi} \int_0^\infty \frac{|{\hat \psi}(\xi)|^2}{\xi} d\xi \right) = {\hat f}(\omega). \tag{4} $$

Interpretação :

É tentador atribuir o $a^{-2}$ às dilatações das ondas, $\psi(t/a)$, à medida que se manifestam como reescalonamentos de componentes do domínio de frequência ($\cdot \sqrt{a}$), e embora isso seja verdade, não é o ponto crucial.

Lembra quando eu disse que não se trata apenas de energia? Considere o que acontece se a normalização for qualquer coisa diferente de$a^{-2}$. Para chegar a$(4)$, nós confiamos em $a^1$ no denominador em $(3b)$, caso contrário, não haverá cancelamento com$C_\psi$, portanto, nenhuma reconstrução . Assim, pode-se concluir que$a^{-2}$é definido em retrospecto - ou seja, "o que fazemos para cancelar$C_\psi$"

Observe que não podemos seguir outro caminho , ou seja, redefinir$C_\psi$ de tal modo que $a^{-2}$não é mais necessário - pelo menos não inteiramente; pela derivação acima, é claro que$\psi$ deve de alguma forma cair, assim $C_\psi$deve incluí-lo. O uso de exatamente$C_\psi$ pode ser baseado em convenção, uma vez que $C_\psi$A aplicabilidade de 'se estende muito além do iCWT como o critério fundamentalmente definidor de wavelets ( Farge, 1992 ).

Então, como inverter o CWT normando L1? Óbvio de cima.

Notas :

A prova seguiu Mallat , Teorema 4.4
Integrais divididos com base na identidade
Presumido $f \in \mathbf{L^2}(\mathbb{R})$ (quadrado-integrável)
$\psi$também foi considerado real e observe que o til está ausente. Não tenho certeza de por que tal restrição foi feita, ou se Mallat implica que tudo é real$\psi$ são autoduais, mas as identidades de reescalonamento (por exemplo $a \Rightarrow a^{-1}$ através da $\mathcal{F}$) deve ser mantida independentemente. Derivação 2 não restringe$\psi$ para real.

Derivação 2: Resolução de Identidade

Para todos $f, g \in \mathbf{L^2}(\mathbb{R})$ (real ou complexo), abaixo:

$$ \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{da db}{a^2} W_f(a, b) \overline{ W_g (a, b)} = C_\psi \left< f, g \right> \tag{5} $$

Comece a prova transformando para o domínio da frequência:

$$ \begin{align} (5) = \int \int \frac{da db}{a^2} & \left[ \int d\xi {\hat f}(\xi) |a|^{1/2} e^{-jb\xi} \overline{ {\hat \psi}(a\xi)} \right] \\ \cdot & \left[ \int d\xi' \overline{ {\hat g}(\xi')} |a|^{1/2} e^{j b\xi'} {\hat \psi}(a\xi') \right] \tag{6} \end{align} $$

Isso é semelhante à derivação 1, exceto $\psi$ substituído por outro CWT de alguma função diferente $g$. Entre colchetes, temos a transformada de Fourier de$F_a(\xi) = |a|^{1/2} {\hat f(\xi)} \overline{\hat \psi (a\xi)}$ vezes a transformada de Fourier do conjugado complexo de $G_a(\xi) = |a|^{1/2} {\hat g(\xi)} \overline{\hat \psi (a\xi)}$. Pela unitariedade da transformada de Fourier, temos

$$ \begin{align} (6) &= 2\pi \int \frac{da}{a^2} \int d\xi F_a(\xi) \overline{G_a(\xi)} \\ &= 2\pi \int \frac{da}{|a|} \int d\xi {\hat f(\xi)} \overline{ {\hat g}(\xi)} |{\hat \psi}(a\xi)|^2 \\ &= 2\pi \int d\xi {\hat f(\xi)} \overline{ {\hat g}(\xi)} \int \frac{da}{|a|} |{\hat \psi}(a\xi)|^2 \ \ \ \ \text{(Fubini's theorem)} \\ &= C_\psi \left< f,g \right>, \end{align} $$

onde na última etapa uma mudança semelhante de variáveis foi usada, $\zeta = a\xi$. $(6)$ pode ser lido como

$$ f = C_\psi^{-1} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{da db}{a^2} W_f(a, b) \psi^{a, b}, \tag{7} $$

citando a fonte,

com convergência da integral "no sentido fraco", ou seja, tomando o produto interno de ambos os lados de $(7)$ com qualquer $g \in \mathbf{L^2}(\mathbb{R})$, e comutar o produto interno com o integral ao longo $a, b$ no lado direito, leva a uma fórmula verdadeira.

Isso parece dizer que a derivação original era para o produto interno $\left< f, g \right>$, enquanto que $(7)$ lê apenas para $(6)$, que terá propriedades um tanto diferentes. O "original" é recuperado por convolução com um$g$. - Também não tenho certeza do que exatamente significa "no sentido fraco"; este é o máximo que encontrei (esclarecimentos bem-vindos).