Derivada direcional e gradiente de uma função diferenciável

Question

Deixei $u = f(x,y,z)$ ser uma função diferenciável em $\mathbb{R^3}$

Dada a função satisfaz: $f(x,y,x^2 + y^2) = 2x+y$ para todos $x,y$
E a derivada direcional do ponto $(0,2,4)$ na direção: $(-2,1,2)$ é igual a $-\frac{5}{3}$.
Calcular:$\nabla f(0,2,4)$

Minha tentativa até agora:
primeiro normalizei o vetor:$\frac{(-2,1,2)}{||(-2,1,2)||} = (-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3})$

nós sabemos isso $f(0,2,4) = f(x,y,x^2 + y^2)$ Porque $x=0, y=2 , x^2+y^2 = 4$ e entao:

$f(0,2,4) = 2 \cdot 0 + 2 = 2$.

Pela definição: $\frac{\partial f}{\partial (-2,1,2)}(0,2,4) = -\frac{5}{3} \Rightarrow \nabla f(0,2,4) \cdot (-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}) = -\frac{5}{3}$

Mesmo pela definição, estou preso:

$\nabla f(0,2,4) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f( (0,2,4) + h(-2,1,2)) - f(0,2,4)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(-2h,2+h, 4+2h) - 2}{h}$

Porque o ponto $(-2h,2+h, 4+2h)$ não satisfaz isso $x^2 + y^2 = z$ (coordenadas) ...

O problema é que não sei como encontrar o gradiente desse ponto, pois a função não é dada em sua forma explícita .. Gostaria de receber sua ajuda, obrigado!

Answer 1

Para simplificar, denotarei $\nabla f(0,2,4) = (f_x(0,2,4), f_y(0,2,4) , f_z(0,2,4)) = (a,b,c)$

Você precisa usar a regra da cadeia neste fato conhecido $f(x,y,x^2+y^2) = 2x+y$:

$$\frac{ \partial }{\partial x}f(x,y,x^2+y^2) = f_x(x,y,x^2+y^2) \cdot \frac{\partial}{\partial x}x + f_y(x,y,x^2+y^2) \cdot \frac{\partial}{\partial x}y + f_z(x,y,x^2+y^2) \cdot \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y^2) = \overbrace{f_x(x,y,x^2+y^2) +2xf_z(x,y,x^2+y^2)}^{\text{left side}} = \overbrace{\frac{ \partial }{ \partial x}(2x+y)}^{\text{right side}} = 2$$

Voce quer encontrar $\nabla f(0,2,4)$ e assim podemos substituir:

$$f_x(0,2,4) + 0 = a = 2$$

$2x \cdot f_z(0,2,4) = 0$ porque está sendo multiplicado pelo $x$ valor - que é $0$.

Mesma coisa para $\frac{\partial}{\partial y}$:

$$\frac{ \partial }{\partial y}f(x,y,x^2+y^2) = f_x(x,y,x^2+y^2) \cdot \frac{\partial}{\partial y}x + f_y(x,y,x^2+y^2) \cdot \frac{\partial}{\partial y}y + f_z(x,y,x^2+y^2) \cdot \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + y^2) = f_y(x,y,x^2+y^2) +2yf_z(x,y,x^2+y^2) = \frac{ \partial }{ \partial y}(2x+y) = 1$$

E então tenha em mente esta equação (1): $$ \fbox{b+4c =1}$$

Agora podemos usar o fato de que a derivada direcional em $(-2,1,2)$ no ponto $(0,2,4)$ é $-\frac{5}{3}$ por definição, a derivada direcional para esta função diferenciável no ponto e direção fornecidos é:

$$ \nabla(0,2,4) \cdot ( -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}) = - \frac{5}{3}$$

Lembre-se disso $\nabla f(0,2,4) = (a,b,c)$:

$$ - \frac{2a}{3} + \frac{b}{3} + \frac{2c}{3} = - \frac{5}{3}$$

$$ -2a +b +2c = -5$$

Nós achamos isso $a=2$:

$$ \fbox{ b + 2c = -1}$$

Agora temos um conjunto de duas equações com duas incógnitas, isso deve ser um avanço rápido:

$$ \left\{\begin{matrix} b+4c =1\\ b + 2c = -1 \end{matrix}\right.$$

Nós entendemos isso $$a=2, ~~~~ b = -3 , ~~~~ c = 1$$

E assim a resposta é:

$$ \nabla f(0,2,4) = (2,-3,1)$$