Derivadas parciais implícitas

Question

Diga que tenho uma função $F(P,V,T) = 0 $. Usando a regra da cadeia:$$dF = \frac{\partial F}{\partial P}dP + \frac{\partial F}{\partial V}dV + \frac{\partial F}{\partial T}dT$$ Agora, se P é constante, temos $dP = 0$ e $dF = 0$ claro porque $F$é uma constante (0). Nós temos:$$dF = \frac{\partial F}{\partial V}dV + \frac{\partial F}{\partial T}dT = 0 \implies (\frac{dV}{dT})_P = - \frac{\frac{\partial F}{\partial T}} {\frac{\partial F}{\partial V}}$$E isso geralmente é verdade? Corrija-me se eu estiver enganado, por favor. Agora, se tivermos uma expressão explícita para$P(T,V)$ também podemos dizer para P constante: $$ (\frac{dV}{dT})_P = - \frac{\frac{\partial P}{\partial T}} {\frac{\partial P}{\partial V}}$$ MAS os resultados nem sempre são os mesmos, por que isso? P, V e T precisam ser independentes um do outro para que a primeira derivação seja correta? Estou realmente confuso e ficarei feliz com uma explicação sem ser muito rigoroso.

Editar: Exemplo (da física):

Dizer:$$F(P,V,T)=PV-PNb+\frac{aN^{2}}{V}-\frac{aN^{3}b}{V^{2}}-Nk_{B}T=0$$

Podemos resolver para P:

$$P = N\left(\frac{K_{B}T}{V-Nb}-\frac{aN}{V^{2}}\right)$$

Agora temos: $$- \frac{\frac{\partial F}{\partial T}} {\frac{\partial F}{\partial V}} \neq - \frac{\frac{\partial P}{\partial T}} {\frac{\partial P}{\partial V}} $$

Answer 1

Resposta curta

Eles são iguais, inclusive no seu exemplo. Você fez a álgebra errada ou esqueceu uma etapa importante no final.

Resposta longa

Sim, seus pensamentos estão corretos. Se você pode escrever$P$ como uma função, então para constante $P$ satisfatório $F(P,V,T)=0$, Nós não temos$\dfrac{\mathrm dV}{\mathrm dT}=-\dfrac{\frac{\partial P}{\partial T}}{\frac{\partial P}{\partial V}}=-\dfrac{\frac{\partial F}{\partial T}}{\frac{\partial F}{\partial V}}$.

Caso de Exemplo

Em seu exemplo particular, $F(P,V,T)=PV-PNb+\frac{aN^{2}}{V}-\frac{aN^{3}b}{V^{2}}-Nk_{B}T=0$ podemos de fato resolver para $P$ encontrar $P=N\left(\dfrac{k_{B}T}{V-Nb}-\dfrac{aN}{V^{2}}\right)$.

Então podemos calcular as duas frações. Para$-\dfrac{\frac{\partial P}{\partial T}}{\frac{\partial P}{\partial V}}$, temos algo como $\dfrac{k_B(V-Nb)V^3}{k_BTV^3-2aN(V-Nb)^2}$. Mas pelo$-\dfrac{\frac{\partial F}{\partial T}}{\frac{\partial F}{\partial V}}$ nós temos algo como $\dfrac{k_BNV^3}{aN^2(2Nb-V)+PV^3}$, que parece diferente. Mas temos que nos lembrar de substituir no valor constante de$P$ de $P=N\left(\dfrac{k_{B}T}{V-Nb}-\dfrac{aN}{V^{2}}\right)$. Então nós temos$\dfrac{k_BNV^3}{aN^2(2Nb-V)+N\left(\dfrac{k_{B}T}{V-Nb}-\dfrac{aN}{V^{2}}\right)V^3}$, o que simplifica para o mesmo $\dfrac{k_B(V-Nb)V^3}{k_BTV^3-2aN(V-Nb)^2}$.

Você pode verificar o cálculo com o código Wolfram / Mathematica:

Wolfram Language (Mathematica) , 458 bytes

Print[Simplify[Solve[P*V - P*N*b + a*N*N/V - a*N*N*N*b/(V*V) - N*kB*T == 0, P]]]
Print[Simplify[-D[N (-((kB T)/(b N - V)) - (a N)/V^2), T]/D[N (-((kB T)/(b N - V)) - (a N)/V^2), V]]]
Print[Simplify[-D[P*V - P*N*b + a*N*N/V - a*N*N*N*b/(V*V) - N*kB*T, T]/D[P*V - P*N*b + a*N*N/V - a*N*N*N*b/(V*V) - N*kB*T, V]]]
Print["Why Not the same? Substitute in for P."]
Print[Simplify[(kB N V^3)/(a N^2 (2 b N - V) + P V^3) /. P -> N (-((kB T)/(b N - V)) - (a N)/V^2)]]

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