Determinando equilíbrios de Nash perfeitos no subjogo
Pergunta
Três casas compartilham o acesso exclusivo a uma praia, mas ela está suja devido ao lixo levado para a praia. Custos de exercício de limpeza de praia$100$, mas tem um valor de $200$para cada família. Uma empresa de limpeza se oferece para assumir o exercício e sugere que as contribuições sejam feitas sequencialmente. Primeiro, o agregado familiar 1 contribuirá com alguma quantia que é$x_1$. Então, depois de observar$x_1$, O agregado familiar 2 contribuirá com alguma quantia que é $x_2$. Finalmente, depois de observar$x_1$ e $x_2$, O agregado familiar 3 contribuirá com alguma quantia que é $x_3$. Se$x_1 + x_2 + x_3 \geq 100$, a empresa prosseguirá com a limpeza e manterá o lucro. Se$x_1 + x_2 + x_3 \leq 100$, a empresa fica com todas as contribuições e a limpeza não é feita.
Encontre o equilíbrio de Nash perfeito do subjogo.
Minha resposta
Considere o agregado familiar 1. Observe que é sempre do interesse do agregado familiar 1 que a praia seja limpa, uma vez que $200 > 100$, então ele deve oferecer $100$. Agora, a Família 2 vê isso e sabe que contribuição suficiente foi feita para que a limpeza aconteça, uma vez que$100 \geq 100$, então ele vai oferecer $0$. Um argumento semelhante pode ser feito para o agregado familiar 3. Assim, o resultado de equilíbrio é$\{x_1 = 100, x_2 = 0, x_3 = 0\}$.
Observação
Eu sei que a pergunta feita para o subjogo equilíbrio de Nash perfeito, mas meu professor afirmou especificamente que, para os fins do módulo que estamos fazendo, ser capaz de chegar ao resultado de equilíbrio é suficiente (ou seja, não sabemos como resolver para o equilíbrio de Nash perfeito do subjogo real).
Eu tenho duas perguntas.
- Meu resultado de equilíbrio está correto?
- Posso saber se meu raciocínio é suficiente / completo / lógico para chegar ao resultado que alcancei?
Acabamos de cobrir a teoria dos jogos, então ainda estou tentando me acostumar a responder a essas perguntas. Qualquer ajuda / opinião sobre a minha resposta será muito apreciada :)
Respostas
Apenas para fins de reconhecimento, observe que o jogo descrito na pergunta é uma variação do famoso jogo Ultimatum . Saber disso pode ajudá-lo a obter uma tonelada de literatura sobre esses jogos.
Além disso, observe que seu professor destacou um ponto extremamente importante de que encontrar uma resposta é suficiente, mas não é necessário resolver . Minha resposta também se limita a mostrar que um determinado perfil de ação é de equilíbrio (seja NE ou SPNE). Resolver jogos (como esses) é um jogo de bola completamente diferente (algo em que não tenho experiência).
Para equilíbrio de Nash:
Para verificar se um determinado perfil de ação é um NE ou não, basta mostrar que a resposta de cada jogador é a melhor resposta (BR) dadas as ações dos outros jogadores. Agora considere o conjunto de perfis de ação:
$$X := \{(x_1,x_2,x_3) \,\,|\,\, x_1 + x_2+x_3 = 100\}$$
Para qualquer $x \in X$, podemos ver que o pagamento para cada jogador é $200$e nenhum jogador pode fazer melhor mudando sua ação, dada a ação de outros jogadores. Daí toda ação em$X$ são NE (observe aqui que, como este jogo é sequencial e não simultâneo, não estamos considerando perfis de estratégia mista).
O problema é que, intuitivamente, isso não nos parece razoável, porque para o jogador 1, oferecer algo mais do que$0$ não parece inteligente.
É aqui que entra o refinamento de NE, Subgame Perfect Nash Equilibrium :
No SPNE, o equilíbrio deve ser um NE para cada subjogo do jogo também. Isso coloca algumas restrições e, portanto, é um conjunto menor. No jogo acima, uma vez que a melhor resposta do jogador 3 é jogar$100-x_1-x_2$ (por exemplo, se o jogador 3 insiste que ela vai jogar $0$ se outros não pagam $33.33$ cada um, é realmente uma ameaça não credível porque seria irracional para ela jogar assim), a melhor resposta do jogador 2 e do jogador 1 torna-se, $0$ para cada.
Portanto, o único subjogo perfeito NE é $(0,0,100)$