Dica de problema USAMO.
Prove que para cada inteiro positivo n existe um número de n dígitos divisível por 5$^n$todos cujos dígitos são ímpares.
USAMO 2003.
É a primeira vez que vejo um problema como este, por isso não tenho a certeza do que fazer, indução, construção, verificação de casos pequenos, contradição são algumas das coisas que tentei.
Eu sei que posso facilmente encontrar uma solução em qualquer lugar, mas não quero olhar para uma solução, então por favor, dê SUGESTÕES .
POSTEI UMA SOLUÇÃO https://math.stackexchange.com/questions/3918561/usamo-problem-solution AQUI, POR FAVOR, VERIFIQUE.
Por favor , não dê a solução completa, quaisquer dicas serão apreciadas.
Respostas
Dica: seguindo o comentário de lulu, vamos supor que você formou um número $N$ com $n-1$ dígitos ímpares divisíveis por $5^{n-1}$. Vamos escrever este número como$N = p\cdot5^{n-1}$. Então você quer encontrar um dígito ímpar$a$ de tal modo que $a\cdot10^{n-1}+ p\cdot5^{n-1} = k\cdot5^n$ para algum inteiro $k > 0$. Isso é verdade se$5 | (a\cdot2^{n-1}+p)$. Escrita$a = 2m+1$, você pode provar que sempre podemos encontrar $m$? Além disso$m$ é mod $5$, e, portanto $a$ é um dígito.
O caso básico é óbvio.