Dimensionalidade finita de Ext¹ de módulos simples

Question

Para simplificar, vamos $\Bbbk$ ser um campo de característica $0$ e deixar $A$ ser um associativo unital finitamente gerado $\Bbbk$-álgebra.

É verdade que para quaisquer dois simples $A$-módulos $S_1, S_2$, nós temos isso $\operatorname{Ext}^1_A (S_1, S_2)$ tem dimensão finita?

Se não, o que seria um contra-exemplo simples e que tipo de condições precisamos para garantir isso?

(Pelo que eu entendo, a álgebra de Weyl $\Bbbk \langle x, y \rangle / (xy - yx - 1)$ tem apenas módulos simples de dimensão infinita, mas seus primeiros grupos de extensão ainda são de dimensão finita.)

Answer 1

Na verdade, sua afirmação sobre a álgebra de Weyl só é verdadeira para módulos holonômicos simples . Acontece que há um módulo não holonômico simples$M$ sobre a 2ª álgebra de Weyl $A=A_2(\Bbb C)$ para qual $\operatorname{Ext}_A^1(M,M)$tem dimensão infinita. Este é o Corolário 1.3 de “Módulos não holonômicos sobre álgebras de Weyl e álgebras envolventes” de Stafford.

Answer 2

É verdade se $A$é comutativo. Nós podemos computar$\text{Ext}^1(S_1, S_2)$ usando os três primeiros termos de uma resolução gratuita de $S_1$; Desde a$S_1$ é simples, é cíclico, então o primeiro termo desta resolução é $A$ e o segundo termo desta resolução é qualquer conjunto finito de geradores do kernel de $A \to S_1$, que é gerado finitamente porque $A$é noetheriano; Noetherianismo também implica que podemos considerar o terceiro termo (e de fato todos os termos) como sendo finito livre. Portanto, obtemos uma resolução livre finita nivelada

$$\cdots \to A^n \to A^m \to A \to S_1 \to 0$$

que computa $\text{Ext}^1(S_1, S_2)$ como um subquociente de $\text{Hom}(A^m, S_2) \cong S_2^m$; pelo Nullstellensatz$\dim_k S_2$ é finito então $\dim_k \text{Ext}^1(S_1, S_2)$também deve ser finito. De forma geral$\dim_k \text{Ext}^n(S_1, S_2)$ é finito.

E se $A$ é não comutativo $\dim_k S_2$ pode ser infinito e o núcleo de $A \to S_1$ pode ser infinitamente gerado (se $A$ não é noetheriano), portanto, esse argumento falha em dois lugares.