Dimensões e ampliações

Question

Considere uma variedade projetiva $X$, e deixar $Y$ser uma subvariedade fechada. Considere a explosão de$X$ ao longo de Y: obtemos uma nova variedade $\tilde{X}\subset X\times \mathbb{P}^{\dim Y}$, junto com um mapa birracional $$b:\tilde{X}\to X$$ que é um isomorfismo fora do locus excepcional $\tilde{Y}= b^{-1}(Y) \simeq \mathbb{P}(\mathcal{N}_{Y\mid X})$.

Pergunta: É verdade que $\dim\tilde{X}=\dim X$?

Minha ideia: a ampliação é um mapa birracional, portanto, um isomorfismo em um subconjunto aberto (denso); como a dimensão de uma variedade é definida como o grau de transcendência do campo funcional, que é o mesmo em conjunto aberto, podemos concluir.

Minha ideia está correta? Estou perguntando isso porque, embora esteja convencido disso, para o caso de explodir um ponto, para o caso geral de uma subvariedade, não tenho certeza, porque intuitivamente parece que estou adicionando espaço grande (eu sei, não é rigoroso, mas acabei de começar a estudar esse assunto).

Answer 1

Há algumas coisas a serem lembradas. Uma é que eu acho que você quer que a construção explodida viva$X \times \mathbb P^{\operatorname{codim} Y}$; pelo menos isso funciona quando$Y$ é uma interseção completa.

Em geral, porém, como você disse, o locus excepcional surge como a projetivização do feixe normal $\mathcal N_{Y|X}$. Conjunto$\dim X = n$ e $\dim Y = m$. A classificação do pacote normal é sempre a codimensão de$Y\subset X$, conseqüentemente $\mathbb P(\mathcal N_{Y|X})$ tem dimensão relativa $n - m - 1$ (o que significa que esta é a dimensão das fibras de $ \mathbb P(\mathcal N_{Y|X}) \to Y$, o mapa de estrutura do pacote projetivo). Agora adicionando a isso a dimensão de$Y$, obtemos a dimensão do pacote projetivo como uma variedade, a saber $(n-m-1) + m = n-1$, mostrando que tem codimensão $1$ dentro $X$. É por essa razão que o locus excepcional de uma explosão é normalmente referido como o divisor excepcional .