distância do problema definido

Question

$\Omega$ é um subconjunto aberto de $\mathbb{R}^n$.deixei $A\subset \Omega$ ser o subconjunto compacto de $\mathbb{R}^n$.

Provar distância $d(\partial \Omega,A)>0$

Minha prova, assuma $d(\partial \Omega,A) = \inf_{x\in A}d(\partial\Omega,x) = 0$, então existe uma sequência $(x_n)\in A$ de tal modo que $d(\partial \Omega,x_n) <\frac{1}{n}$ .Agora desde $A$ é limitada, existe subsequência de convergência, $x_{n_k}\to x\in A$(Desde a $A$ está fechado.)

Então, por continunidade da função de distância, temos $d(\partial\Omega,x) = 0$ que implica $x\in \partial\Omega$ (Desde a $\partial \Omega$ está fechado). O que é uma contradição, pois não há interseção de $\partial\Omega$ e $A$ devido a $\Omega$ está aberto.

A questão é que uso a suposição de que $A$ é um conjunto limitado para construir a sequência, mas na verdade essa condição limitada parece não ser necessária, então como provar se apenas assumirmos $A$ é um subconjunto fechado de $\mathbb{R}^n$ que contém em $\Omega$?

Answer 1

Isso é falso se eliminarmos a compactação: $\Omega=\bigcup (2n,2n+1)$ e $A=\{2n+\frac 1 n: n \geq 1\}$. Então$A$ é um subconjunto fechado do conjunto aberto $\Omega$ e $d(\partial \Omega, A) \leq |2n-(2n+\frac 1n) |=\frac 1n $ para todos $,n$. então$d(\partial \Omega, A)=0$