Divisor zero ou unidade [duplicado]

Question

Deixei $R$seja um anel finito com unidade. Prove que todo$x \neq 0$ é um divisor zero ou uma unidade.

Fiz uma tentativa, mas não consegui. Eu peguei um diferente de zero$x$ e definiu o mapeamento $f: R \to R, y \mapsto xy$. Este mapeamento pode não ser injetivo, mas se for, uma vez que mapeia de$R$ para $R$ e é finito, $f$ também é sobrejetora, e uma vez que $1$ é um elemento de $R$, existe $y$ de tal modo que $xy = 1$. O anel não é necessariamente comutativo, no entanto, eu também preciso encontrar um$y$ de tal modo que $yx = 1$. Meu pensamento era definir um mapa análogo$g: R \to R, y \mapsto yx$, que pode ou não ser injetiva. Mas então encontro problemas em que o primeiro mapa é injetivo, mas o segundo não.

Qualquer ajuda seria apreciada.

EDIT: A pergunta vinculada não responde a isso porque assume que o anel é comutativo. Este anel não é comutativo.

Answer 1

O que você mostrou é:

E se $x \neq 0$ não é um divisor zero à esquerda (resp. direita), então existe $y$ de tal modo que $xy = 1$ (resp. $yx = 1$)

E se $x$ é um divisor zero à esquerda, mas não um divisor zero à direita, então teremos $xz = 0$ para alguns $z \neq 0$ e $yx = 1$ para alguns $y$.

Nós então obtemos $$0 = y\cdot 0 = yxz = 1 \cdot z = z,$$ que contradiz $z \neq 0$.

Portanto, esta situação não pode acontecer. Cada divisor zero à esquerda é automaticamente um divisor zero à direita, e vice-versa, portanto, podemos dizer inequivocamente "divisor zero".

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Assim quando $x$ não é um divisor zero, teremos $xy = 1$ e $zx = 1$ para alguns $y, z$. Isso então dá$$y = 1 \cdot y = zxy = z \cdot 1 = z,$$ e nós vemos isso $y = z$ é o inverso multiplicativo de $x$, conseqüentemente $x$ é uma unidade.