É $\frac{u}{|u|}$1- Lipschitz?

Question

Quero provar que o aplicativo$\{s\in \mathbb{R}^3:|s|\geq 1\} \to S^2 ,u\mapsto \frac{u}{|u|}$é Lipschitz com constante$1$. Se eu adicionar ($\frac{u|u|-u|u}{|u||v|}|$), acho que a constante é igual$2$(a norma utilizada é a norma euclidiana). Não é$1$-Lipschitz?

Obrigada

Answer 1

Isso é$1-$Lipschitz.$|\frac u {|u|} -\frac v {|v|}|^{2}=1+1-2\frac {u.v} {|u||v|}$e$|u-v|^{2}=|u|^{2}+|v|^{2}-2u.v$ou$2(u.v) (1-\frac 1 {|u||v|}) \leq |u|^{2}+|v|^{2} -2$. Aplicando a desigualdade CS, a propriedade Lipschitz reduz a$2ab(1-\frac 1 {ab}) \leq a^{2}+b^{2}-2$Onde$a=|u|$e$b=|b|$e isso se reduz a$(a-b)^{2} \geq 0$que é verdade.

Answer 2

Uma prova usando projeção em conjuntos convexos

$B_3$a bola unitária fechada de$\mathbb R^3$é um subconjunto convexo fechado. O resultado solicitado consiste em provar que a projeção sobre$S^2$de pontos em$\mathbb R^3 \setminus B_3$está contratando.

Uma prova pode ser encontrada aqui .

Você pode imitar essa prova em seu caso especial, se desejar.

Answer 3

Prova geométrica usando o teorema de interceptação

Suponha, sem perda de generalidade, que$1 \le \vert u \vert \le \vert v \vert$e denotar$v^\prime = v \frac{\vert u \vert}{\vert v \vert}$. Notar que$\vert v^\prime \vert = \vert u \vert$.

Usando o teorema de interceptação para os triângulos$0 \ \frac{u}{\vert u \vert }\ \frac{v}{\vert v \vert }$e$0 \ u \ v^\prime$você consegue

$$\begin{aligned} \vert u - v \vert^2&= \vert u - v^\prime\vert^2 + \vert v^\prime - v\vert^2 + 2 \langle u - v^\prime, v^\prime -v \rangle\\ &\ge \vert u - v^\prime \vert^2\\&= \vert u \vert^2 \left\vert\frac u {|u|} -\frac v {|v|}\right\vert^2\\ &\ge \left\vert\frac u {|u|} -\frac v {|v|}\right\vert^2 \end{aligned}$$

$\langle u - v^\prime, v^\prime -v \rangle \ge 0$Porque$\angle u v^\prime v \ge \frac{\pi}{2}$.