E se $f$ é contínuo então $f$ é uniformemente contínuo iff $|f|$ é uniformemente contínuo
E se $f:\Bbb R^n \to \Bbb R$ é contínuo então $f$ é uniformemente contínuo iff $|f|$ é uniformemente contínuo.
Um mapa $f$ de um espaço métrico $M=(M,d)$ para um espaço métrico $N=(N,\rho)$ é dito ser uniformemente contínuo se para cada $\epsilon>0$, existe um $\delta>0$ de tal modo que $\rho(f(x),f(y))<\epsilon$ sempre que $x,y \in M$ satisfazer $d(x,y)<\delta$.
Claramente, se $f:\Bbb R^n \to \Bbb R$ é uniformemente contínuo então $|f|$ é uniformemente contínuo como $|f|(x)-|f|(y)|\leq |f(x)-f(y)|$mas estou tendo problemas reais para mostrar a parte oposta. Na região onde$f$ seja sempre positivo ou negativo, não teremos nenhum problema senão como lidar com os pontos onde $f$está mudando de sinal. Se os zeros de$f$ são finitos, então também podemos pegar um mínimo de todos $\delta$se conclui o resultado. O que acontecerá se zeros de$f$ são infinitos?
Respostas
Conforme mencionado nos comentários, a prova fornecida aqui pode ser facilmente modificada para funcionar para todo o$\mathbb{R}^n$.
Desde a $\lvert f \rvert$ é uniformemente contínuo, existe um $\delta > 0$ de tal modo que \begin{align*} d(x,y) \leq \delta \Rightarrow \lvert \lvert f \rvert (x) - \lvert f \rvert (y) \rvert \leq \frac{\epsilon}{2}. \end{align*} Observe que se $f(x)f(y) > 0$, então \begin{align*} \lvert f(x)-f(y)\rvert \leq \lvert \lvert f \rvert(x) - \lvert f \rvert (y) \rvert, \end{align*} que é menos que $\epsilon/2$ sempre que $d(x,y) \leq \delta$. Sem surpresa, este caso foi bastante trivial. Agora voltamos nossa atenção para o caso em que$f(x)f(y) \overset{\star}{\leq} 0$. Uma vez que sempre mantém isso\begin{align*} \lvert f(x)-f(y)\rvert \leq \lvert f \rvert(x) + \lvert f \rvert (y). \end{align*} é suficiente mostrar que $\star$ implica a existência de um $z$ de tal modo que $d(x,z) \vee d(y,z) \leq d(x,y)$ e $f(z) = 0$. Porque então\begin{align*} \lvert f(x) - f(y) \rvert &\leq \lvert \lvert f \rvert(x) - \lvert f \rvert(z) \rvert + \lvert \lvert f \rvert(y) - \lvert f \rvert(z) \rvert \\ &\leq \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \end{align*} sempre que $d(x,y) \leq \delta$. Desde a$f$ é contínua, a existência de um adequado $z$ decorre da continuidade de $f$ e $\star$(como consequência do Teorema do Valor Intermediário, veja, por exemplo, aqui ).