E se $\mathbb E_{\mathbb P} \vert f(X,Y)\vert <\infty$, é também $\mathbb E_{\mathbb P_1\times \mathbb P_2} \vert f(X,Y)\vert <\infty$?

Question

Deixei $(E_1,\mathcal E_1)$ e $(E_2,\mathcal E_2)$ser dois espaços mensuráveis. Deixei$(E=E_1\times E_2,\mathcal E=\mathcal E_1\times \mathcal E_2)$. Deixei$\mathbb P$ uma distribuição de probabilidade válida em $(E,\mathcal E)$. Defina as distribuições marginais$\mathbb P_1(A)=\mathbb P (A\times E_2)$ e $\mathbb P_2(A)=\mathbb P (E_1\times A)$e, finalmente, denotam a distribuição do produto por $\mathbb P_1\times \mathbb P_2$. Finalmente, assuma que sabemos\begin{align*} \mathbb E_{\mathbb P} \vert f(X,Y)\vert <\infty.\end{align*} Minha pergunta é se isso também \begin{align*} \mathbb E_{\mathbb P_1\times \mathbb P_2} \vert f(X,Y)\vert <\infty?\end{align*}

Em particular, se for falso, espero ver um contra-exemplo e também estou interessado em saber se é verdadeiro no caso $f(X,Y)=g(X)h(Y)$ para algumas funções $g$ e $h$.

Answer 1

Não é verdade em geral.

Deixei $E_1 = E_2 = \mathbb{R}$, e deixar $\mu$ ser alguma medida de probabilidade em $\mathbb{R}$sem primeiro momento (por exemplo, distribuição de Cauchy). Deixei$\mathbb{P}$ ser a lei conjunta de $(X, X)$ Onde $X \sim \mu$. Finalmente vamos$f(x,y) = x-y$. Sob$\mathbb{P}$, temos $Y=X$ como, e portanto $f(X,Y)=0$ como, então $\mathbb{E}_{\mathbb{P}}|X-Y| = 0$. Mas sob$\mathbb{P}_1 \times \mathbb{P}_2$, temos $X,Y$ são iid $\mu$, e segue-se que $\mathbb{E}_{\mathbb{P}_1 \times \mathbb{P}_2} |X-Y| = \infty$. Para ver isso, use o teorema de Tonelli para escrever$$\mathbb{E}_{\mathbb{P}_1 \times \mathbb{P}_2} = \int \mathbb{E}|X-y| \,\mathbb{P}_1(dy)$$ onde o integrando é identicamente $+\infty$, usando $|X-y| \ge |X|-|y|$.

Não é nem verdade para $f(x,y) = g(x) h(y)$. Deixei$W$ ser uma variável aleatória com primeiro momento infinito, e $Z$ uma variável aleatória Bernoulli (1/2) independente de $W$. Deixei$\mathbb{P}$ ser a lei conjunta de $(WZ, W(1-Z))$, E definir $f(x,y) = xy$, que tem a forma $g(x) h(y)$. Então$$\mathbb{E}_{\mathbb{P}}|XY| = \mathbb{E} |W^2 Z (1-Z)| = 0$$ Porque $Z(1-Z)=0$ como mas $WZ, W(1-Z)$ são distribuídos de forma idêntica, então temos $$\mathbb{E}_{\mathbb{P}_1 \times \mathbb{P}_2}|XY| = (\mathbb{E}|WZ|)^2 = (\mathbb{E}|W| \cdot \mathbb{E}|Z|)^2 = \frac{1}{4} (\mathbb{E}|W|)^2 = \infty.$$