É$\sup_{n\in N} E[X_n] < \infty$?

Question

Aqui está o problema:

Deixar {$X_n$}$_{n\geq0}$ser uma sequência não negativa decrescente de RV's, ou seja$X_n\leq X_{n-1}$,$\forall n \geq1$, de tal modo que$P(0\leq X_0<\infty)=1$.

É verdade que$\sup_{n\geq1}E(X_n)<\infty$? E se$E(X_0)<\infty?$

Bem se é verdade que$\sup E(X_n)\leq E(\sup X_n)$, então terminamos desde$\sup_{n\geq1}X_n=X_1$, e nesse caso podemos dizer que$\sup_{n\geq1}E(X_n)<\infty$E se$E(X_0)<\infty$, pelo teorema da convergência monótona. Então eu diria não para a primeira pergunta e sim para a segunda.

Estou certo? é a desigualdade$\sup E(X_n)\leq E(\sup X_n)$geralmente verdadeiro para sequências monótonas?

Como sempre, muito obrigado por qualquer ajuda.

Answer 1

$EX_n$está diminuindo.$sup_{n\geq 1} EX_n=EX_1$assim$sup_n EX_n<\infty$se$EX_1 <\infty$. Mas$P(0\leq X_0 <\infty)=1$não implica que$EX_1 <\infty$mas se$EX_0 <\infty$então$EX_1<\infty$também.