É verdade que $\angle ACK=\angle BCL$ num círculo?

Question

Nota: este é o problema central que extraí da seguinte pergunta, do qual tenho lutado por horas e dias e estou prestes a desistir.

Prove que dois ângulos somam 90 graus

O problema:

Num círculo, $MN$ é um diâmetro. $\triangle ABC$ é um triângulo retângulo tal que $AB\perp MN$ e $\angle ACB = 90^{\circ}$. $MA, MB$ cruze o círculo em $K, L$. Provar que$\angle ACK=\angle BCL$.

O que eu tentei:

Observe que este problema tem uma condição "mais livre" do que o problema original, portanto, a afirmação não é garantida como verdadeira $100$por cento. Mas eu tenho prolongado$5$imagens diferentes com altíssima precisão e comparadas manualmente os dois ângulos, que são sempre iguais. Isso me leva a acreditar que essa questão é a parte central do problema original.

Do dado, o que posso dizer é $A,B,L,K$ são co-cíclicos e eu realmente não fui a lugar nenhum além disso, apesar de passar dias.

Se eu desenhar linhas paralelas a $AC$ e $BC$ de $M$ e cruzá-los com o círculo, obtenho um triângulo semelhante a $\triangle ABC$ que passam pelo centro do círculo, o que é bom, mas inútil.

Os dois ângulos parecem tão remotos. Tenho a sensação de que existe um teorema que pode resolver esse problema em várias linhas, mas apenas não conheço o teorema.

A condição mais estrita:

Se eu incluir mais uma condição que $KB$ e $LA$ encontra o círculo em $P,Q$ Onde $C$ encontra-se na linha $PQ$ e $PQ$ é perpendicular a $MN$então esse problema é equivalente ao problema original. Mas não acredito que seja necessário para este resultado específico baseado na observação experimental. (No entanto, eles são necessários para o problema original)

Answer 1

Vamos marcar a intersecção de MN e AB como F. ​​Triângulos ACF, BCF e ABC são congruentes. Ao perseguir o ângulo, podemos ver que:

$BAC=BCN=BCL+LCN=CBM+NMB$

$ABC=ACN=ACK+KCN=CAM+NMA$

Some os lados das relações que você obtém:

$(BCN+ACN=90^o)=CAM+CBM+AMB$

Agora, como na figura, MD || AC e ME || BC, portanto: $DME=90^o$isso significa que DE é o diâmetro do círculo e é paralelo a AB. Esse é o triângulo DME e ABC são isósceles e os pontos K e L são espelho de MN (ou CN). conseqüentemente

$\widehat{ACK}=\widehat{BCL}$

Agora, a orientação das linhas que constroem esses dois ângulos permanecem constantes, também suas medidas se o triângulo MDE gira em torno de M e a base DE gira em torno do centro do círculo, mas a medida do ângulo DME permanece em $90^o$. Isso significa que se você fizer o procedimento inverso, ou seja, primeiro desenhar o triângulo MDE simétrico em relação ao MN, então sempre poderá existir um triângulo retângulo como ABC e ângulos iguais como ACK e LCB.