Encontre o comprimento de PQ.

Question

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Deixei $ABC$seja um triângulo. Deixe a bissetriz externa do ângulo$A$ conhecer o círculo circunflexo do triângulo $ABC$ novamente em $M \neq A$. Um círculo com centro$M$ e raio $MB$ encontra a bissetriz interna do ângulo $A$ em pontos $P$ e $Q$. Determine o comprimento de$PQ$ em termos de comprimentos de $AB$ e $AC$.

Alguém poderia fornecer uma solução? Não consigo fazer nenhum progresso significativo na questão.

Edit: Aqui está o projeto original que criei no Geogebra. Espero que torne o diagrama mais claro.

https://www.geogebra.org/classic/ezted9sg

Answer 1

Tente provar isso ..

• Encontre o comprimento de $MA=2R\cos(\frac{A+2C}{2})$primeiro. ( Onde$R$ é o circumradius do triângulo.)

• Em seguida, encontre $MB=2R\cos(\frac{A}{2})$ usando a lei senoidal (perseguir os ângulos) em $\triangle MAB$

• Finalmente, aplique o teorema de Pitágoras em $\triangle MAQ$

$MQ^2-MA^2=MB^2-MA^2=AQ^2$ e $PQ=2AQ$