Encontre os limites de 2 sequências
Tenho 2 sequências para as quais preciso encontrar o limite. Mas não tenho certeza se provei que isso está correto o suficiente ou se existe uma maneira melhor de fazer isso.
(uma) $\lim_{n\to \infty}$ $\frac{n^2+(-1)^n}{5n^2+3n+1}$
(b) $\lim_{n\to \infty}$ $\frac{a^n+2b^n}{3a^n+5b^n}$ , para $a,b \gt 0$
Então, para (a) eu tenho isso desde $(-1)^n$é limitado, é irrelevante para n grande. Além disso, (não sei o termo correto para isso), pois$n^2$ é dominante em comparação com $n$, para muito grande $n$, o limite é basicamente $\lim_{n\to \infty}$ $\frac{n^2}{5n^2}$ $= 1/5$.
Não sei como escrever isso corretamente, pois parece bastante informal e não comprovado.
para (b) não tenho certeza. Primeiro tentei calcular algo, mas não fui muito longe. Agora eu usei$c$ $=$ $a^n+2b^n$. Isto resulta em$\frac{c}{3c-b^n}$. Mas é aí que estou preso. Como faço para continuar com isso?
Respostas
Para o primeiro a formalizar use esse
$$\frac{n^2+(-1)^n}{5n^2+3n+1}=\frac{1+\frac{(-1)^n}{n^2}}{5+\frac3n+\frac1{n^2}}$$
para o segundo temos
$$\frac{a^n+2b^n}{3a^n+5b^n} =\frac{\left(\frac ab\right)^n+2}{3\left(\frac ab\right)^n+5}$$
então considere os casos $a>b$, $a=b$ e $a<b$.
Dica: para justificar sua resposta para a) divida todos os termos por $n^{2}$ e tomar o limite.
E se $a>b$ divida todos os termos por $a^{n}$. Você vê que o limite é$\frac 1 3$ (Desde a $(\frac b a)^{n} \to 0$) E se$a<b$ dividido por $b^{n}$ para ver que o limite é $\frac 2 5$. E se$a=b$ então o limite é $\frac {1+2} {3+5}$.