Encontre uma função $f$ de tal modo que $\lim_{x\to{}0}{f(x^2)}$ existe, mas $ \lim_{x\to{}0}{f(x)}$não. [duplicado]

Question

Contexto:

Estou aprimorando algumas análises e, atualmente, fazendo os exercícios do livro Cálculo de M. Spivak, especificamente o capítulo 5 sobre limites. Tudo estava indo bem até que me deparei com esta pergunta. Estou pensando nisso há algum tempo, sem sorte.

Pergunta: "Dê um exemplo onde$\lim_{x\to{}0}{f(x^2)}$ existe, mas $\lim_{x\to{}0}{f(x)}$ não."

Minhas tentativas:

Uma pergunta anterior mostrou que $\lim_{x\to{}0}{f(x^3)}=\lim_{x\to{}0}{f(x)}$, que acredito que funciona porque podemos encontrar a terceira raiz de qualquer número real (que foi útil na prova épsilon-delta para isso). O que me faz acreditar que o anterior falha porque não podemos dar raiz ao quadrado de reais negativos. Isso me levou a brincar com funções envolvendo$\sqrt{x}$ e utilizando sua 'indefinição' nos negativos.

Comecei com $f(x)=\sqrt{x-1}$ que claramente tem um limite indefinido em $0$. Mas isso, claro, não é diferente (considerando o limite em$0$ isso é para $f(x^2)$.

Alguma dica? Sinto como se estivesse negligenciando algo tão simples.

Answer 1

$$\begin{align}f\colon \Bbb R\setminus\{0\}&\to \Bbb R\\x&\mapsto \frac x{|x|}\end{align}$$

Answer 2

Eu vim com outro exemplo, embora depois de ver a resposta de Hagon von Eitzen.

Podemos escolher $f(x)=\text{floor}(x)$.