Equação quadrática com múltiplos parâmetros

Question

Eu tenho a seguinte equação:

$$x^2 +mx+(a−m)^2 =0\text{ ($uma$ be there as a fixed parameter)}$$

e preciso calcular para quais valores de $m$ a equação tem exatamente uma solução para $x.$

Eu sei que tenho que olhar o valor de $m$ para o qual o discriminante desta equação é igual a $0.$ Mas toda vez que eu ia, esse caminho ficava preso.

Alguém pode me dar alguma dica que preciso pesquisar ou procurar ao tentar calcular isso?

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Adição:

Uma coisa que esqueci de mencionar é que, em primeiro lugar, o objetivo é encontrar um valor para $m$ e depois calcular a (s) solução (ões) para $x$.

Answer 1

Para $Ax^2+Bx+C=0$ ter apenas uma solução, $B^2-4AC = 0$ ou $B^2 = 4AC$.

Então precisamos $m^2 = 4(a-m)^2 = (2(a-m))^2 \Rightarrow m = \pm(2a-2m) \Rightarrow \color{blue}{m =2a, \frac{2a}{3}}$

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Para calcular a solução da equação,

$Ax^2+Bx+C$ tem soma das raízes $= \frac{-B}{A}$. Aqui, como o discriminante é zero, ambas as raízes são iguais,$x_1 = x_2$.

Assim, $2x_1 = -\frac{B}{A} = -m \Rightarrow \boxed{x_1 = x_2 =-\frac{m}{2}}$.

As raízes também são $\boxed{-a}$ ou $\boxed{-\frac{a}{3}}$ correspondendo a $m=2a, \frac{2a}{3}$ respectivamente.

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Gráfico para soluções:

Correspondendo a $m=2a$ e $m=\frac{2a}{3}$

Answer 2

OK, calcule o discriminante: $$m^2-4(a-m)^2=(m+2(a-m))(m-2(a-m))=0$$ Isso é zero precisamente quando um dos dois fatores é zero, então $$m+2(a-m)=0\implies m=2a$$ $$m-2(a-m)=0\implies m=\frac23a$$

Answer 3

$$x^2+mx+(a-m)^2=0.$$ Como as raízes são iguais, $$m^2-4(a-m)^2=0$$ $$m^2-(2a-2m)^2=0$$ $$(m+2a-2m)(m-2a+2m)=0$$ $$m=\frac{2a}{3},2a.$$ Insira esses valores de m na equação original e obteremos duas equações quadráticas. $$x^2+2ax+a^2=0$$ e $$9x^2+6ax+a^2=0$$Agora você pode encontrar as raízes dessas equações pelas fórmulas de Vieta .

As raízes dessas equações são $-a$ e $\frac{-a}{3}$.

Answer 4

$A^2-B^2 =(A+B)(A-B)$, Onde $A=m$, $B=2(a-m)$. Você entendeu a dica?

Answer 5

Como você disse, a condição é que o discriminante seja $0$. Neste caso, o discriminante é$-4 a^2 + 8 a m - 3 m^2$. Isso é um quadrático em$m$: você pode resolver isso?