Escreva a linha na forma paramétrica

Question

Digamos que tenho a linha $3x+4y=2$

Eu quero escrever na forma paramétrica. Você resolve para x ou y.

Resolvendo para x: $x=\frac{2}{3}+\frac{-4t}{3}$

Resolvendo para y: $y=\frac{2}{4}+\frac{-3x}{4}$

Na forma paramétrica, eles se tornam:

$\begin{bmatrix}2/3 \\ 0\end{bmatrix}+-t\begin{bmatrix} 4/3\\ 1\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}0 \\ 2/4\end{bmatrix}+-t\begin{bmatrix} 1\\ 3/4\end{bmatrix}$

Se eu as plotar, a solução para a linha y é igual a 3x + 4y = 2. Vejo exemplos online de pessoas resolvendo para ambos x / y de forma intercambiável. Estou entendendo mal alguma coisa? E se eu quiser escrever uma linha em sua forma de parâmetro, a variável que resolvo importa?

Answer 1

Especificamente, quando você tem uma equação implícita, você pode resolver para qualquer $x$ ou $y$ para derivar uma versão paramétrica (a única exceção sendo quando $x$ ou $y$ não aparece na equação implícita, por exemplo nas linhas $x-2=0$ e $3y+5=0$) No entanto, as representações paramétricas não são únicas, de modo que uma única linha pode ser representada por qualquer número de equações paramétricas.

Em geral, se uma única linha tem duas representações paramétricas $\mathbb a_i + t \mathbb b_i$ para $i=1,2$ então devemos ter $\mathbb b_1$ é um múltiplo diferente de zero de $\mathbb b_2$ e ambos $\mathbb a_1$ e $\mathbb a_2$ deve estar em algum lugar na linha, o que quer dizer $\mathbb a_1 + t\mathbb b_1 = \mathbb a_2$ por algum valor de $t$.

No seu exemplo, você pode escolher o parâmetro $t$ ser igual a $x$ ou $y$ ou mesmo alguma outra quantidade, como $t=x+y$ dando

$$ \left( \array{x\\y} \right)= \left( \array{-2\\2} \right)+ t \left( \array{4\\-3} \right) $$Portanto, incluindo os dois que você derivou, temos três representações na forma paramétrica. A propósito, você tem um sinal errado em suas duas fórmulas, que deveria ser$$ \left( \array{x\\y} \right)= \left( \array{2/3\\0} \right)+ t \left( \array{-4/3\\1} \right) \quad\text{and}\quad \left( \array{x\\y} \right)= \left( \array{0\\2/4} \right)+ t \left( \array{1\\-3/4} \right) . $$